2023年江苏省海安县南莫高三数学上学期期中文.docx

南莫中学2023届高三期中考试试题数 学（选修历史） (总分值160分，考试时间120分钟) 一、填空题：本大题共14小题，每题5分,共70分．请将答案填写在答题卡相应位置. 1. 函数的最小正周期是 ▲ . 2．设集合，A={2，3，5}，B={1，4}，那么= ▲ . 3．复数（i是虚数单位）的实部是 ▲ . 4．命题“〞的否认是 ▲ . 5．假设，那么的最小值为 ▲ . 6．设a，b是两个非零实数，且a≠b，给出以下三个不等式： ①；②；③ 其中恒成立的不等式是 ▲ .（只要写出序号） 7．假设向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为，那么|a+b|= ▲ . 8. 在等比数列{an}中，a3a83a13=243，那么的值为 ▲ . 9. 假设函数在上是增函数，那么m的取值范围是 ▲ . 10. 某地区为了了解70～80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查. 下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表： 在上述统计数据的分析中，一局部计算见算法流程图，那么 输出的S的值是 ▲ . 11. 假设正数a，b，c满足a2+2ab+4bc+2ca=16，那么a+b+c的最小值是 ▲ . 12. 设等差数列的前n项和为，假设，那么 ▲ . 13. 设是定义在上的减函数，且对一切都成立，那么a的取值范围是 ▲ . 14. 设函数，那么以下命题中正确命题的序号是 ▲ . ①当时，在R上有最大值； ②函数的图象关于点对称； ③方程=0可能有4个实根； ④当时，在R上无最大值； ⑤一定存在实数a，使在上单调递减. A B C D D1 A1 B1 C1 二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题总分值14分） 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中， （1）求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1； （2）求二面角C1—BD—C的正切值． 16. （此题总分值14分） 用3种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色. 求： （1）3个矩形颜色都相同的概率； （2）3个矩形颜色都不同的概率. 17. （此题总分值15分） 函数满足． （1）求常数c的值； （2）解不等式． 18．（此题总分值15分） △ABC的面积为，且，向量和 是共线向量. （1）求角C的大小； （2）求△ABC的三边长. 19．（此题总分值16分） 二次函数的图象经过点(0,1)，其导函数，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)均在函数的图象上. （1）求数列{an}的通项公式an和； （2）设，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m. 20．（本小题总分值16分） 函数(a，b均为正常数). （1）求证：函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点； （2）设函数在处有极值. ①对于一切，不等式恒成立，求b的取值范围； ②假设函数f(x)在区间上是单调增函数，求实数m的取值范围. 2023届高三期中考试 数学（选修历史）参考答案及评分建议 . 【填空题答案】 1．2  2．{6} 3. 4． 5. 6. ②   7. 8. 3 9. 10. 11. 4 12. 13. 14. ①③⑤ A B C D D1 A1 B1 C1 二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题总分值14分） 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中， （1）求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1； （2）求二面角C1—BD—C的正切值． 【证明】（1）因为ABCD—A1B1C1D1是正方体， 所以AC⊥BD，A1A⊥平面ABCD，……………2分 而平面ABCD，于是BD⊥A1A. …………………………4分 因为AC、A1A平面A1ACC1，，所以BD⊥平面A1ACC1. ……………6分 因为平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面A1ACC1. …………………………8分 【解】（2）设AC与BD交于点O，连C1O. 因为C1O、CO平面A1ACC1，而BD⊥平面A1ACC1， 所以C1O⊥BD，CO⊥BD， 于是是二面角C1—BD—C的平面角. ……………………… 12分 设正方体的棱长为a，所以CO. 在Rt△C1OC中, 故二面角C1—BD—C的正切值为． ……………………… 14分 16. （此题总分值14分） 用3种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色. 求： （1）3个矩形颜色都相同的概率； （2）3个矩形颜色都不同的概率. 【解】此题的根本领件共有27个. 因为对3个矩形涂色时，选用颜色是随机的，所以这27个根本领件是等可能的. …………………………4分 （1）记“3个矩形颜色都相同〞为事件A，显然事件A包含的根本领件有3个， 于是  …………………………8分 （2）记“3个矩形颜色都不相同〞为事件B，假设三种颜色分别是a，b，c， 那么事件B只有可能是abc；acb；bac；bca；cab；cba，共6个根本领件， 于是  ……………………… 12分 【答】3个矩形颜色都相同的概率为，3个矩形颜色都不同的概率为.……… 14分 17. （此题总分值14分） 函数满足． （1）求常数c的值； （2）解不等式． 【解】（1）由题意知0<c<1，于是0<c2<c. 所以，即，故. …………………………4分 （2）由（1）得 …………………………6分 解不等式组得 …………………………9分 解不等式组得 ……………………… 12分 所以不等式的解集为 ……………… 14分 18．（此题总分值14分） △ABC的面积为，且，向量和 是共线向量. （1）求角C的大小； （2）求△ABC的三边长. 【解】（1）因为向量和是共线向量， 所以， …………………………2分 即sinAcosB+cosAsinB－2sinCcosC=0， 化简得sinC－2sinCcosC=0，即sinC(1－2cosC)=0. …………………………4分 因为，所以sinC>0，从而， …………………………6分 （2），于是AC. ………………8分 因为△ABC的面积为，所以， 即，解得 ……………………… 11分 在△ABC中，由余弦定理得 所以 ……………………… 14分 19．（此题总分值16分） 二次函数的图象经过点(0,1)，其导函数，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)均在函数的图象上. （1）求数列{an}的通项公式an和； （2）设，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m. 【解】（1）由题意，可设. 因为函数的图象经过点(0,1)，所以. 而，所以a=3，b=－2. 于是. …………………………3分 因为点(n，Sn)均在函数的图象上，所以Sn.…………5分 所以a1=S1=2，当时，， 故   …………………………8分 （2） ……………………… 10分 所以当n>1时， . ……………………… 12分 对所有都成立对所有都成立 故所求最小正整数m为6. ……………………… 16分 20．（本小题总分值18分） 函数 (a，b均为正常数). （1）求证：函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点； （2）设函数在处有极值. ①对于一切，不等式恒成立，求b的取值范围； ②假设函数f(x)在区间上是单调增函数，求实数m的取值范围. 【证】（1）因为， ， 所以函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点. …………………………4分 【解】（2）. …………………………6分 因为函数在处有极值，所以，即，所以a=2. 于是.  …………………………8分 ①本小题等价于对一切恒成立. 记，那么 因为，所以，从而， 所以，所以，即g(x)在上是减函数. 所以，于是b>1，故b的取值范围是………………… 12分 ②， 由得，即 ……………………… 14分 因为函数f(x)在区间上是单调增函数， 所以， 那么有 即 只有k=0时，适合，故m的取值范围是 ……………………… 18分