吉林省新六所重点中学2023学年高三下学期联合考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（） A． B． C． D． 2．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A．96里 B．72里 C．48里 D．24里 5．设分别为的三边的中点，则（ ） A． B． C． D． 6．已知集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． 7．已知变量的几组取值如下表： 1 2 3 4 7 若与线性相关，且，则实数（ ） A． B． C． D． 8．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知集合，，则 A． B． C． D． 10．已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ） A．75 B．65 C．55 D．45 12．的展开式中的系数是-10，则实数( ) A．2 B．1 C．-1 D．-2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．的展开式中的常数项为_______． 14．已知实数满足则的最大值为________. 15．设，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足，且，则椭圆C的离心率为______. 16．若函数为自然对数的底数）在和两处取得极值，且，则实数的取值范围是______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知凸边形的面积为1，边长，，其内部一点到边的距离分别为.求证：. 18．（12分）已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：. 19．（12分）分别为的内角的对边.已知. （1）若，求； （2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长. 20．（12分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系. （1）求的直角坐标方程与点的直角坐标； （2）求证：. 21．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为. (1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程； (2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值． 22．（10分）已知椭圆经过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间. 【题目详解】 解：已知函数，其中，，其图像关于直线对称， 对满足的，，有，∴. 再根据其图像关于直线对称，可得，. ∴，∴. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像. 令，求得， 则函数的单调递减区间是，， 故选B. 【答案点睛】 本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题. 2、B 【答案解析】 由题意可知函数为上为减函数，可知函数为减函数，且，由此可解得实数的取值范围. 【题目详解】 由题意知函数是上的减函数，于是有，解得， 因此，实数的取值范围是． 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题. 3、B 【答案解析】 分别取、的中点、，连接、、，利用二面角的定义转化二面角的平面角为，然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，在中计算出，再利用勾股定理计算出，即可得出球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案． 【题目详解】 如下图所示， 分别取、的中点、，连接、、， 由于是以为直角等腰直角三角形，为的中点，， ，且、分别为、的中点，所以，，所以，，所以二面角的平面角为， ，则，且，所以，，， 是以为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点，同理可知，的外心为点， 分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，则点在平面内，如下图所示， 由图形可知，， 在中，，， 所以，， 所以，球的半径为，因此，球的表面积为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题． 4、B 【答案解析】 人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为，计算，代入得到答案. 【题目详解】 由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为， 则，解得，从而可得，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 5、B 【答案解析】 根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解. 【题目详解】 根据题意,可得几何关系如下图所示: , 故选:B 【答案点睛】 本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题. 6、B 【答案解析】 求出中不等式的解集确定出集合，之后求得. 【题目详解】 由， 所以， 故选：B. 【答案点睛】 该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目. 7、B 【答案解析】 求出，把坐标代入方程可求得． 【题目详解】 据题意，得，所以，所以． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值． 8、D 【答案解析】 圆心坐标为，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【题目详解】 圆的圆心为， 由题意可得，即，，， 则，当且仅当且即时取等号， 故选：． 【答案点睛】 本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题． 9、C 【答案解析】 分析：根据集合可直接求解. 详解：, , 故选C 点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算. 10、C 【答案解析】 先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可. 【题目详解】 先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象， 如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点； 当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点， 则，解得. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题. 11、B 【答案解析】 计算的和，然后除以，得到“5阶幻方”的幻和. 【题目详解】 依题意“5阶幻方”的幻和为，故选B. 【答案点睛】 本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前项和公式，属于基础题. 12、C 【答案解析】 利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可. 【题目详解】 二项式展开式的通项为，令，得， 则，所以，解得. 故选：C 【答案点睛】 本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 写出展开式的通项公式，考虑当的指数为零时，对应的值即为常数项. 【题目详解】 的展开式通项公式为： ， 令，所以，所以常数项为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值. 14、 【答案解析】 直接利用柯西不等式得到答案. 【题目详解】 根据柯西不等式：，故， 当，即，时等号成立. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案. 15、 【答案解析】 采用数形结合，计算以及，然后根据椭圆的定义可得，并使用余弦定理以及，可得结果. 【题目详解】 如图 由，所以 由，所以 又，则 所以 所以 化简可得： 则 故答案为： 【答案点睛】 本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题. 16、 【答案解析】 先将函数在和两处取得极值，转化为方程有两不等实根，且，再令，将问题转化为直线与曲线有两交点，且横坐标满足，用导数方法研究单调性，作出简图，求出时，的值，进而可得出结果. 【题目详解】 因为，所以， 又函数在和两处取得极值， 所以是方程的两不等实根，且， 即有两不等实根，且， 令， 则直线与曲线有两交点，且交点横坐标满足， 又， 由得， 所以，当时，，即函数在上单调递增； 当，时，，即函数在和上单调递减； 当时，由得，此时， 因此，由得. 故答案为 【答案点睛】 本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、证明见解析 【答案解析】 由已知，易得，所以利用柯西不等式和基本不等式即可证明. 【题目详解】 因为凸边形的面积为1，所以， 所以 （由柯西不等式得） （由均值不等式得） 【答案点睛】 本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对