北京市海淀区知春里中学2023学年高三最后一模数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的一个单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 2．已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．充分不必要条件 4．已知曲线，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线截圆所得弦长为（ ） A． B．2 C．4 D． 5． “”是“，”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数( ) A．3 B． C． D． 7．已知方程表示的曲线为的图象，对于函数有如下结论：①在上单调递减；②函数至少存在一个零点；③的最大值为；④若函数和图象关于原点对称，则由方程所确定；则正确命题序号为( ) A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 8．已知为抛物线的焦点，点在上，若直线与的另一个交点为，则( ) A． B． C． D． 9．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．若点是角的终边上一点，则（ ） A． B． C． D． 11．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）. A． B． C． D． 12．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A． B．复数的共轭复数是 C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知是同一球面上的四个点，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积为______. 14．如图，两个同心圆的半径分别为和，为大圆的一条 直径，过点作小圆的切线交大圆于另一点，切点为，点为劣弧上的任一点（不包括 两点），则的最大值是__________． 15．已知数列满足，且恒成立，则的值为____________. 16．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____；最长棱的长度是_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若正数、满足，求证：. 18．（12分）已知． （1）若的解集为，求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，且. （1）求角的值； （2）若，且为锐角三角形，求的取值范围. 20．（12分）已知函数. （1）若，解关于的不等式； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线交曲线于两点，为中点. （1）求曲线的直角坐标方程和点的轨迹的极坐标方程； （2）若，求的值. 22．（10分）已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得的单调区间，由此确定正确选项. 【题目详解】 因为 ，由单调递增，则（），解得（），当时，D选项正确.C选项是递减区间，A，B选项中有部分增区间部分减区间. 故选：D 【答案点睛】 本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识. 2、A 【答案解析】 由及得到、，进一步得到，再利用两角差的正切公式计算即可. 【题目详解】 因为，所以，又，所以， ，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 3、D 【答案解析】 充分性中，由向量数乘的几何意义得，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得，不一定有正数，使得，所以不成立，即可得答案. 【题目详解】 充分性：若存在正数，使得，则，，得证； 必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立； 所以是充分不必要条件 故选：D 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题. 4、C 【答案解析】 设，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将点坐标代入切线方程，抽象出直线方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【题目详解】 圆可化为. 设， 则的斜率分别为， 所以的方程为，即， ，即， 由于都过点，所以， 即都在直线上， 所以直线的方程为，恒过定点， 即直线过圆心， 则直线截圆所得弦长为4. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题. 5、B 【答案解析】 先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【题目详解】 由得，即， ，因此“”是“，”的必要不充分条件． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断． 6、B 【答案解析】 利用乘法运算化简复数即可得到答案. 【题目详解】 由已知，，所以，解得. 故选：B 【答案点睛】 本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 7、C 【答案解析】 分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性. 【题目详解】 （1）当时，，此时不存在图象； （2）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分； （3）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分； （4）当时，，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分； 画出的图象， 由图象可得： 对于①，在上单调递减，所以①正确； 对于②，函数与的图象没有交点，即没有零点，所以②错误； 对于③，由函数图象的对称性可知③错误； 对于④，函数和图象关于原点对称，则中用代替，用代替，可得，所以④正确. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想. 8、C 【答案解析】 求得点坐标，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得点坐标，进而求得 【题目详解】 抛物线焦点为，令，，解得，不妨设，则直线的方程为，由，解得，所以. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题. 9、C 【答案解析】 化简得到，得到答案. 【题目详解】 ，故，对应点在第三象限. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力. 10、A 【答案解析】 根据三角函数的定义，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，点是角的终边上一点， 根据三角函数的定义，可得， 则，故选A. 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 11、C 【答案解析】 易得，，又，平方计算即可得到答案. 【题目详解】 设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形， 所以，又， 故，，， 所以，即， 故离心率为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题. 12、D 【答案解析】 首先求得，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【题目详解】 由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确. 故选：D 【答案点睛】 本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 求得等边三角形的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【题目详解】 设是等边三角形的外心，则球心在其正上方处.设，由正弦定理得.所以得三棱锥外接球的半径，所以外接球的表面积为. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题. 14、 【答案解析】 以为坐标原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，从而可得、，，，然后利用向量数量积的坐标运算可得，再根据辅助角公式以及三角函数的性质即可求解. 【题目详解】 以为坐标原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴， 建立平面直角坐标系， 则、， 由，且， 所以，所以，即 又平分，所以，则, 设， 则，， 所以， 所以 ，， 所以的最大值是. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了向量数量积的坐标运算、利用向量解决几何问题，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，属于中档题. 15、 【答案解析】 易得，所以是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可. 【题目详解】 由已知，，因，所以，所以数列是以 为首项，3为公差的等差数列，故，所以. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题. 16、 【答案解析】 由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度． 【题目详解】 由三视图还原原几何体如下图所示： 该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面， 则该几何体的体积为， ，， 因此，该棱锥的最长棱的长度为. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）见解析 【答案解析】 （1）等价于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ），分别解出，再求并集即可； （2）利用基本不等式及可得，代入可得最值. 【题目详解】 （1）等价于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ） 由（Ⅰ）得： 由（Ⅱ）得： 由（Ⅲ）得：. 原不等式的解集为； （2），，， ， ， 当且仅当，即时取等号， ， 当且仅当即时取等号， . 【答案点睛】 本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题. 18、（1）；（2） 【答案解析】 （1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出