2023年高考试题数学江苏版解析版2.docx

绝密★启用前 2023年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ试题 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本本卷须知及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷总分值160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 参考公式： 锥体的体积公式: V锥体=Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。 一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，那么实数a=______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1. 2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），那么z的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。 3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，假设从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__. [解析]考查古典概型知识。2 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如下列图，那么其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。 [解析]考查频率分布直方图的知识。 100×（0.001+0.001+0.004）×5=30 5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，那么实数a=_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。 6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，那么M到双曲线右焦点的距离是___▲_______ [解析]考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。 7、右图是一个算法的流程图，那么输出S的值是______▲_______ [解析]考查流程图理解。输出。 8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，那么a1+a3+a5=____▲_____ [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得， 所以。 9、在平面直角坐标系xOy中，圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，那么实数c的取值范围是______▲_____[来源 [解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。 10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,那么线段P1P2的长为_______▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值， 且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段P1P2的长为 11、函数,那么满足不等式的x的范围是__▲___。 [解析] 考查分段函数的单调性。 12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，那么的最大值是 ▲ 。。来源 [解析] 考查不等式的根本性质，等价转化思想。 ，，，的最大值是27。 13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，那么=____▲_____。 [解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。 当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，， ，= 4。 （方法二）， 由正弦定理，得：上式= 14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,那么S的最小值是____▲____。 [解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 设剪成的小正三角形的边长为，那么： （方法一）利用导数求函数最小值。 ， ， 当时，递减；当时，递增； 故当时，S的最小值是。 （方法二）利用函数的方法求最小值。 令，那么： 故当时，S的最小值是。 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题总分值14分） 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2) 设实数t满足()·=0，求t的值。 [解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。总分值14分。 （1）（方法一）由题设知，那么 所以 故所求的两条对角线的长分别为、。 （方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，那么: E为B、C的中点，E（0，1） 又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=； （2）由题设知：=(－2,－1)，。 由()·=0，得：， 从而所以。 或者：， 16、（本小题总分值14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。 (1) 求证：PC⊥BC； (2) 求点A到平面PBC的距离。 [解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。总分值14分。 （1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。 由∠BCD=900，得CD⊥BC， 又PDDC=D，PD、DC平面PCD， 所以BC⊥平面PCD。 因为PC平面PCD，故PC⊥BC。 （2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，那么： 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。 易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。 （方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。 因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。 从而AB=2，BC=1，得的面积。 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。 因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。 又PD=DC=1，所以。 由PC⊥BC，BC=1，得的面积。 由，，得， 故点A到平面PBC的距离等于。 17、 （14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β (1) 该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 (2) 该小组分析假设干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，假设电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大 分析：此题关键要找出C点的位置，清楚α-β最大时tan(α-β)也最大 解：（1）因为： ， 那么：，， 因为 所以 带入tanα=1.24,tanβ 得，所以H=124m （2）由题意知：， 因为所以那么 = =（）当且仅当时，即m时最大，因为，所以也取最大值 所以，m时，取最大值 小结：此题主要考察学生对直角三角形角边关系的应用，第二问还考察学生对两角差的正切公式和根本不等式的熟练运用，第一问属于简单题，第二问属于中等题。 总结：这两题充分表达了高考是以根底性题型为主的宗旨，对学生具有扎实根底的重视。虽说第二题与别章有结合，但都属于根本知识的结合，只要学生对各章都有一个坚实的根底，解决这些题目都不会有问题。所以，在以后解三角形的复习中，我们一定要强化三角形根本定理的熟练应用，扎实根底，注重与别章根底知识综合时的灵活运用。 18、（本小题总分值16分） 在平面直角坐标系中，如图，椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。 （1）设动点P满足,求点P的轨迹； （2）设，求点T的坐标； （3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等根底知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。总分值16分。 （1）设点P（x，y），那么：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。 由，得 化简得。 故所求点P的轨迹为直线。 （2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，） 直线MTA方程为：，即， 直线NTB 方程为：，即。 联立方程组，解得：， 所以点T的坐标为。 （3）点T的坐标为 直线MTA方程为：，即， 直线NTB 方程为：，即。 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到， 解得：、。 （方法一）当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）； 当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。 （方法二）假设，那么由及，得， 此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。 假设，那么，直线MD的斜率， 直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。 因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。 19、（本小题总分值16分） 设各项均为正数的数列的前n项和为，，数列是公差为的等差数列。 （1）求数列的通项公式（用表示）； （2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。 [解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及根本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。总分值16分。 （1）由题意知：， ， 化简，得： ， 当时，，适合情形。 故所求 （2）（方法一） ， 恒成立。 又，， 故，即的最大值为。 （方法二）由及，得，。 于是，对满足题设的，，有 。 所以的最大值。 另一方面，任取实数。设为偶数，令，那么符合条件，且。 于是，只要，即当时，。 所以满足条件的，从而。 因此的最大值为。 20、（本小题总分值16分） 设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，那么称函数具有性质。 (1)设函数，其中为实数。 (i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。 (2)函数具有性质。给定设为实数， ，，且， 假设||<||，求的取值范围。 [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等根底知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思