北京外国语大学附属中学2023学年高三下学期联考数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则直线的斜率为( ) A． B． C． D． 2．已知集合，定义集合，则等于（ ） A． B． C． D． 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知，则为( ) A． B． C．或 D．或 4．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A．正方体 B．球体 C．圆锥 D．长宽高互不相等的长方体 5．设，，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的奇函数满足：（其中），且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系（用不等号连接）为（ ） A． B． C． D． 7．已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（ ） A． B． C．3 D．5 8．斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为　　 A．2 B． C． D． 9．已知，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 10．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ） A．月收入的极差为60 B．7月份的利润最大 C．这12个月利润的中位数与众数均为30 D．这一年的总利润超过400万元 11．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y的值为________． 14．曲线在处的切线方程是_________． 15．（5分）已知函数，则不等式的解集为____________． 16．已知集合，若，且，则实数所有的可能取值构成的集合是________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切． （1）求圆的方程； （2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 18．（12分）在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分，按照大于或等于80分的为优秀，小于80分的为合格，为了解学生的在该维度的测评结果，在毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生，得到如下的列联表： 优秀 合格 总计 男生 6 女生 18 合计 60 已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为. （1）完成上面的列联表； （2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？ （3）现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况，采取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由. 附： 0.25 0.10 0.025 1.323 2.706 5.024 19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，为等腰直角三角形，，平面底面，为的中点. （1）求证：平面； （2）若平面与平面的交线为，求二面角的正弦值. 20．（12分）某精密仪器生产车间每天生产个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布（单位：微米），且相互独立．若零件的长度满足，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格． （1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为，求及的数学期望； （2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由． 附：若随机变量服从正态分布，则． 21．（12分）设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 22．（10分）已知函数． 当时，求不等式的解集； ，，求a的取值范围． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据抛物线的定义，结合，求出的坐标，然后求出的斜率即可． 【题目详解】 解：抛物线的焦点，准线方程为， 设，则，故，此时，即． 则直线的斜率． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题． 2、C 【答案解析】 根据定义，求出，即可求出结论. 【题目详解】 因为集合，所以， 则，所以. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题. 3、D 【答案解析】 由正弦定理可求得，再由角A的范围可求得角A. 【题目详解】 由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查正弦定理,注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题. 4、C 【答案解析】 根据基本几何体的三视图确定． 【题目详解】 正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 5、D 【答案解析】 利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【题目详解】 ，， ，， ，，， ， 故选：D. 【答案点睛】 该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目. 6、A 【答案解析】 因为，所以，即周期为４，因为为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图在（０，１）单调递增，因为，因此，选Ａ． 点睛：函数对称性代数表示 （1）函数为奇函数 ，函数为偶函数（定义域关于原点对称）； （2）函数关于点对称，函数关于直线对称， （3）函数周期为T,则 7、C 【答案解析】 由,再运用三点共线时和最小，即可求解. 【题目详解】 . 故选：C 【答案点睛】 本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题． 8、C 【答案解析】 设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值． 【题目详解】 解：设直线l的方程为y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0， 由题意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1． 弦长|AB|＝4． 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口． 9、A 【答案解析】 根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【题目详解】 因为， 所以. 因为， 所以， 因为，为增函数， 所以 所以， 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 10、D 【答案解析】 直接根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【题目详解】 由图可知月收入的极差为，故选项A正确； 1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确； 易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力. 11、B 【答案解析】 根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【题目详解】 将函数的图象向左平移个单位， 得到， 此时与函数的图象重合， 则，即，， 当时，取得最小值为， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键． 12、A 【答案解析】 根据题意，用表示出与，求出的值即可. 【题目详解】 解：根据题意，设，则 ， 又， ， ， 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值. 【题目详解】 根据茎叶图中的数据，得： 甲班5名同学成绩的平均数为， 解得； 又乙班5名同学的中位数为73，则； . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题. 14、 【答案解析】 利用导数的运算法则求出导函数，再利用导数的几何意义即可求解. 【题目详解】 求导得， 所以，所以切线方程为 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了基本初等函数的导数、导数的运算法则以及导数的几何意义，属于基础题. 15、 【答案解析】 易知函数的定义域为，且，则是上的偶函数．由于在上单调递增，而在上也单调递增，由复合函数的单调性知在上单调递增，又在上单调递增，故知在上单调递增．令，知，则不等式可化为，即，可得，又，是偶函数，可得，由在上单调递增，可得，则，解得，故不等式的解集为． 16、. 【答案解析】 化简集合，由，以及，即可求出结论. 【题目详解】 集合，若， 则的可能取值为，0，2，3， 又因为， 所以实数所有的可能取值构成的集合是. 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查集合与元素的关系，理解题意是解题的关键，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（2）（x﹣2）2+y2＝2．（2）（）．（3）存在， 【答案解析】 （2）设圆心为M（m，0），根据相切得到，计算得到答案. （2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0得到答案. （3）l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，过点M（2，0），计算得到答案. 【题目详解】 （2）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5， 所以 ，即|4m﹣2