北京交通大学附属中学2023学年高三下学期一模考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知实数、满足约束条件，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 4．已知f(x)=是定义在R上的奇函数，则不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集为（ ） A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-4,3) D．(-3,4) 5． “”是“函数的图象关于直线对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（ ） A．2或 B．2或 C．或 D．或 7．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 8．已知集合，则的值域为（　　） A． B． C． D． 9．已知实数，满足，则的最大值等于( ) A．2 B． C．4 D．8 10．M、N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点,则|MN|的最小值为(　　) A．π B．π C．π D．2π 11．若为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在平面直角坐标系中，点P在直线上，过点P作圆C：的一条切线，切点为T.若，则的长是______. 14．已知，那么______. 15．已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为___________. 16．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在中，内角的边长分别为，且． （1）若，，求的值； （2）若，且的面积，求和的值． 18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点． （1）求证：． （2）若，求二面角的余弦值． 20．（12分）如图,在平面直角坐标系中,以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点,且点的纵坐标是． （1）求的值: （2）若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标为,求的值． 21．（12分）如图，直三棱柱中，分别是的中点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（其中为参数），直线的参数方程为（其中为参数） （1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程； （2）若曲线与直线交于两点，点的坐标为，求的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 直接利用集合的基本运算求解即可． 【题目详解】 解：全集，集合，， 则， 故选：． 【答案点睛】 本题考查集合的基本运算，属于基础题． 2、C 【答案解析】 作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值. 【题目详解】 解：作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，如下图表示： 当目标函数经过点时，取得最大值，最大值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题. 3、A 【答案解析】 由复数的运算法则计算． 【题目详解】 因为，所以 故选：A． 【答案点睛】 本题考查复数的运算．属于简单题． 4、C 【答案解析】 由奇函数的性质可得，进而可知在R上为增函数，转化条件得，解一元二次不等式即可得解. 【题目详解】 因为是定义在R上的奇函数，所以， 即，解得，即， 易知在R上为增函数. 又，所以，解得. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题. 5、A 【答案解析】 先求解函数的图象关于直线对称的等价条件，得到，分析即得解. 【题目详解】 若函数的图象关于直线对称， 则， 解得， 故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件． 故选：A 【答案点睛】 本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 6、A 【答案解析】 根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率． 【题目详解】 设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得： ， 得双曲线的一条渐近线的方程为 ∴焦点在x、y轴上两种情况讨论： ①当焦点在x轴上时有： ②当焦点在y轴上时有： ∴求得双曲线的离心率 2或． 故选：A． 【答案点睛】 本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案． 7、B 【答案解析】 求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案. 【题目详解】 当时，，， ，又，所以至少小于7，此时， 令，得，解得或，结合图象，故. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 8、A 【答案解析】 先求出集合，化简=，令，得由二次函数的性质即可得值域. 【题目详解】 由，得 ，，令， ，，所以得 ， 在 上递增，在上递减， ，所以，即 的值域为 故选A 【答案点睛】 本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 9、D 【答案解析】 画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得的最大值. 【题目详解】 画出可行域如下图所示，其中，由于,，所以， 所以原点到可行域上的点的最大距离为. 所以的最大值为. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 10、C 【答案解析】 两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小, 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1=,x2=π, |x1-x2|=π, |y1-y2|=|πsinx1-πcosx2| =π+π =π, ∴|MN|==π.故选C. 11、B 【答案解析】 由共轭复数的定义得到，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解 【题目详解】 由题意得， 因为，， 所以在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题. 12、C 【答案解析】 试题分析：画出截面图形如图 显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C． 考点：平面的基本性质及推论． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 作出图像，设点，根据已知可得，，且，可解出，计算即得. 【题目详解】 如图，设，圆心坐标为，可得， ，， ，，解得，， 即的长是. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，以及求平面两点间的距离，运用了数形结合的思想. 14、 【答案解析】 由已知利用诱导公式可求，进而根据同角三角函数基本关系即可求解. 【题目详解】 ∵， ∴，， ∴. 故答案为：. 【答案点睛】 本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 15、 【答案解析】 求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可． 【题目详解】 解：双曲线的右准线，渐近线， 双曲线的右准线与渐近线的交点， 交点在抛物线上， 可得：， 解得． 故答案为． 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题． 16、 【答案解析】 结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【题目详解】 方法1：由题意可知， 由中位线定理可得，设可得， 联立方程 可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方， 求得，所以 方法2：焦半径公式应用 解析1：由题意可知， 由中位线定理可得，即 求得，所以. 【答案点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）先由余弦定理求得，再由正弦定理计算即可得到所求值； （2）运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinC，运用正弦定理和三角形的面积公式可得a，b的方程组，解方程即可得到所求值． 【题目详解】 解：（1）由余弦定理 由正弦定理得 （2）由已知得： 所以------① 又所以------② 由①②解得 【答案点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 18、（1）见证明；（2） 【答案解析】 （1）设是的中点，连接、，先证明是平行四边形，再证明平面，即 （2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建空间直角坐标系，分别计算各个点坐标，计算平面法向量，利用向量的夹角公式得到直线与平面所成角的正弦值. 【题目详解】 （1）证明：设是的中点，连接、， 是的中点，，， ，，， ， 是平行四边形，， ，，， ，，， 由余弦定理得， ，， ，平面，， ； （2）由（1）得平面，，平面平面， 过点作，垂足为，平面，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系， 则，，， ， 设是平面的一个法向量，则，， 令，则，， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 【答案点睛】 本题考查了线面垂直，线线垂直，利用空间直角坐标系解决线面夹角问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 19、（1）见解析（2） 【答案解析】 （1）由已知可证明平面，从而得证面面垂直，再由，得线面垂直，从而得，由直角三角形得结论； （2