2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案指数指数函数高中数学.docx

2.9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂 零指数幂； 负整数指数幂 (2)正分数指数幂； (3)负分数指数幂 (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： 3.根式 〔1〕根式的定义:如果，那么叫做的次方根，用 表示, 叫做根式，叫根指数，叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当是奇数，； 当是偶数， ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数： 〔1〕定义：y=ax (a>0且a≠1)，叫指数函数，x是自变量，y 是x的函数。 〔2〕图象： 〔3〕性质： 定义域(-∞,+ ∞)；值域 (0,+ ∞)； 过定点〔０，1〕； 单调性 a> 1时为增函数 ０＜a<1时为减函数 值分布：x取何值时，y>1,0<y<1 (分a>1和0<a<1两种情况说明) 三、双基题目练练手 1.·等于 〔 〕 A.－ B.－ C. D. 2.当时，的大小关系是 〔 〕 A． B． C． D． 3.以下列图是指数函数〔1〕y=ax，〔2〕y=bx，〔3〕y=cx，〔4〕y=dx的图象，那么a、b、c、d与1的大小关系是 A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c 4.如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0且a≠1),在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数a 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 5.计算：_____________ 6.假设,那么a、b、c的大小顺序是 简答.精讲: 1-4. ABBB; 1. ·=a·〔－a〕=－〔－a〕=－〔－a〕; 3. 令x=1，由图知c1＞d1＞a1＞b1; 4.记u=ax,那么 f(x)=u[u-(3a2+1)]=g(u)对称轴为u=(3a2+1)/2,要使f(x)在x∈[0,+∞)时递增,当0<a<1时u=ax∈(0,1]且递减,只须1≤(3a2+1)/2,解得;当a>1时无解.应选B; 5.12; 6.只须看的大小,把6次乘方, 把10次乘方可知c<a<b 四、经典例题做一做 【例1】9x－10·3x+9≤0，求函数y=〔〕x－1－4〔〕x+2的最大值和最小值. 解：由9x－10·3x+9≤0得〔3x－1〕〔3x－9〕≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2.令〔〕x=t，那么≤t≤1，y=4t2－4t+2=4〔t－〕2+1.当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2. 方法提炼 1.由不等式求x的范围;2.换元法转化为地次函数的闭区间上的最值问题.. 【例2】的值. 解：， ， ， 而， 方法归纳 1.用好的关系.2.根式化分数指数幂再计算. 【例3】〔2023全国Ⅲ〕解方程4x+|1－2x|=11. 解：当x≤0时，1－2x≥0. 原方程4x－2x－10=02x=±2x=－＜0〔无解〕或2x=+＞1知x＞0〔无解〕. 当x＞0时，1－2x＜0. 原方程4x+2x－12=02x=－±2x=－4〔无解〕或2x=3x=log23〔为原方程的解〕. 思想方法 1.分类讨论——分段去绝对值；2。换元法。 【例4】设函数(a为实数)． ⑴假设a<0，用函数单调性定义证明：在上是增函数; ⑵假设a＝0，的图象与的图象关于直线y＝x对称，求函数　的解析式． 解： (1)设任意实数x1<x2，那么f(x1)－ f(x2)＝ ＝＝ ． 又，∴f(x1)－ f(x2)<0，所以f(x)是增函数． (2)当a＝0时，y＝f(x)＝2x－1，∴2x＝y＋1， ∴x＝log2(y＋1)， y＝g(x)＝ log2(x＋1)． 【研究.欣赏】〔2023上海〕函数 〔1〕证明f(x)在〔-1，+∞〕上为增函数； 〔2〕用反证法证明方程f(x)=0没有负数根。 证明〔1〕设－1<x1<x2 ∵x2-x1>0,又a>1, ∴,而－1<x1<x2， ∴x1+1>0, x2+1>0, ∴f(x2)－f(x1)>0,f(x)在(－1,+∞)上为增函数。 〔2〕设x0为方程f(x)=0的负根，那么有即 显然，， 假设 与矛盾； 假设x0<-1那么，x0+1<0,,而矛盾，即不存在x0<－1的解，综上知，不存在负根。 提炼方法： 1.方法：单调性定义，反证法，分类讨论； 2.反证法推矛盾时,表达了明确的目的性和数式变换的技巧和能力. 五．提炼总结以为师 1.根式的运算——根据分数指数幂的意义，转化为分数指数幂的运算； 2.指数函数的定义重在“形式〞，像y=2·3x，，y=3x+1等都不是指数函数，是复合函数. 3.指数函数y=ax〔a＞0，a≠1〕的图象和性质，要分a＞1与0＜a＜1来研究. 4.对于含有字母参数的指数式，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论，用好用活指数函数单调性，还要注意换元的灵活运用。 同步练习 2.9 指数 指数函数 【选择题】 1.假设Nx，那么( 〕 A．2 B． C． D． 2. ( 2023全国卷III)设，那么 ( ) 〔A〕-2<x<-1 〔B〕-3<x<-2 〔C〕-1<x<0 〔D〕0<x<1 3.假设函数y=ax+b－1〔a＞0且a≠1〕的图象经过二、三、四象限，那么一定有 ( ) A.0＜a＜1且b＞0 B.a＞1且b＞0 C.0＜a＜1且b＜0 D.a＞1且b＜0 4. ，，，那么的值分别为〔 〕 A．， B．， C．， D．， 【填空题】 5.函数y=〔〕的递增区间是___________. 6.求值：=________ 简答提示: 1-4.AACD; 5. 〔－∞，1］;6. 1; 【解答题】 7. (1)求值 〔2〕假设，求的值 解(1) = 〔2〕原式= 8．函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值。 解:设t=ax,那么y=t2+2t-1,在t≥-1时递增.而x∈[-1,1]. 假设a>1,那么a-1≤t≤a,　ymax=a2+2a-1=14, 解得a=3, (-5舍) 假设0<a<1,那么 a≤t≤a-1, ymin=a-2+2a-1-1=14, 解得 9.设f〔x〕=－2x+1，f〔m〕=，求f〔－m〕. 解：设g(x)= －2x, 那么 g〔－x〕=+2x=+2x =+2x=+2x=－+ 2x=－g(x) g(x)是奇函数,g(m)= -1, ∴f〔－m〕=g(-m)+1=－g(m)+1=2－. 10.设，是上的偶函数 〔1〕求的值；〔2〕证明在上为增函数 解：〔1〕依题意，对一切，有，即 ∴对一切成立，那么， ∴，∵，∴ 〔2〕(定义法)设，那么 ， 由，得，， ∴， 即，∴在上为增函数 〔导数法〕∵， ∴ ∴在上为增函数 【探索题】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),当x∈(0,1]时,; (1)求证:f(x)是以4为周期的周期函数; (2)求f(x)在[-1,0]上的解析式; (3)假设x∈[a,a+4],(a∈R),求使关于x的方程f(x)=λ有解的λ的取值范围. 解(1)∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f(-x-2)=－f(x+2)=f(x) ∴f(x)的周期为4. (2)显然f(0)=0,当x∈[-1,0)时－x∈(0,1]. (3) ∴在(1,2]上是减函数, 由是奇函数, 又f(x+2)=f(-x),∴x=1是f(x)的对称轴. , 当时,的周期为4, 时,在[a,a+4]上可使方程有解.