北京市第171中学2023学年高三下学期第五次调研考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算等于( ) A． B． C． D． 2．若函数（）的图象过点，则（ ） A．函数的值域是 B．点是的一个对称中心 C．函数的最小正周期是 D．直线是的一条对称轴 3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A． B． C． D． 4．已知与之间的一组数据： 1 2 3 4 3.2 4.8 7.5 若关于的线性回归方程为，则的值为（ ） A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 5．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 6．已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（ ） A． B． C． D． 7．函数的部分图象大致是（ ） A． B． C． D． 8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A． B． C． D． 9．若实数、满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数在上单调递增，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 11．定义域为R的偶函数满足任意，有，且当时，.若函数至少有三个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．已知实数满足约束条件，则的最小值为（ ） A．-5 B．2 C．7 D．11 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为__________． 14．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______. 15．已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为_______． 16．如图，已知圆内接四边形ABCD，其中，，，，则__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下： 研发费用（百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量（万盒） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 （1）求与的相关系数精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）； （2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望． 附：（1）相关系数 （2），，，． 18．（12分）如图（1）五边形中， ,将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面. （1）求证：平面平面； （2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 19．（12分）已知椭圆，上、下顶点分别是、，上、下焦点分别是、，焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若为椭圆上异于、的动点，过作与轴平行的直线，直线与交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值，说明理由. 20．（12分）已知两数． （1）当时，求函数的极值点； （2）当时，若恒成立，求的最大值． 21．（12分）已知椭圆，点为半圆上一动点，若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点. （1）求证：； （2）当时，求的取值范围. 22．（10分）如图，三棱柱中，平面，，，分别为，的中点. （1）求证： 平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值. 【题目详解】 原式. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题. 2、A 【答案解析】 根据函数的图像过点，求出，可得，再利用余弦函数的图像与性质，得出结论. 【题目详解】 由函数（）的图象过点， 可得，即， ，， 故， 对于A，由，则，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误； 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题. 3、B 【答案解析】 求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 基本事件的总数为， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为, 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4、D 【答案解析】 利用表格中的数据，可求解得到代入回归方程，可得，再结合表格数据，即得解. 【题目详解】 利用表格中数据，可得 又， ． 解得 故选：D 【答案点睛】 本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题. 5、C 【答案解析】 结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可. 【题目详解】 A：为非奇非偶函数，不符合题意； B：在上不单调，不符合题意； C：为偶函数，且在上单调递增，符合题意； D：为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 【答案点睛】 本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 6、A 【答案解析】 对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数. 【题目详解】 因为为纯虚数，所以，得 所以. 故选A项 【答案点睛】 本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题. 7、C 【答案解析】 判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项. 【题目详解】 ，函数是奇函数，排除， 时，，时，，排除， 当时，， 时，，排除， 符合条件，故选C. 【答案点睛】 本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项. 8、D 【答案解析】 循环依次为 直至结束循环，输出 ，选D. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 9、D 【答案解析】 根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 【题目详解】 作出不等式组所表示的可行域如下图所示： 联立，得，可得点， 由得，平移直线， 当该直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小， 此时取最小值，即. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 10、B 【答案解析】 由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围. 【题目详解】 由,可得, 时,,而, 又在上单调递增,且, 所以,则,即,故. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 11、B 【答案解析】 由题意可得的周期为，当时，，令，则的图像和的图像至少有个交点，画出图像，数形结合，根据，求得的取值范围. 【题目详解】 是定义域为R的偶函数，满足任意， ，令， 又， 为周期为的偶函数， 当时，， 当， 当， 作出图像，如下图所示： 函数至少有三个零点， 则的图像和的图像至少有个交点， ，若， 的图像和的图像只有1个交点，不合题意， 所以，的图像和的图像至少有个交点， 则有，即， . 故选:B. 【答案点睛】 本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题. 12、A 【答案解析】 根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值. 【题目详解】 由约束条件，画出可行域如图 变为为斜率为-3的一簇平行线，为在轴的截距， 最小的时候为过点的时候， 解得所以， 此时 故选A项 【答案点睛】 本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 考查更为一般的问题：设P为椭圆C:上的动点，为椭圆的两个焦点，为△PF1F2的内心，求点I的轨迹方程． 解法一：如图，设内切圆I与F1F2的切点为H，半径为r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，则. 直线IF1与IF2的斜率之积：， 而根据海伦公式，有△PF1F2的面积为 因此有. 再根据椭圆的斜率积定义，可得I点的轨迹是以F1F2为长轴， 离心率e满足的椭圆， 其标准方程为. 解法二：令，则．三角形PF1F2的面积： ， 其中r为内切圆的半径，解得. 另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得： 从而有．消去θ得到点I的轨迹方程为： . 本题中：，代入上式可得轨迹方程为：. 14、 【答案解析】 结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【题目详解】 方法1：由题意可知， 由中位线定理可得，设可得， 联立方程 可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方， 求得，所以 方法2：焦半径公式应用 解析1：由题意可知， 由中位线定理可得，即 求得，所以. 【答案点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径. 15、 【答案解析】 先求导数可得切线斜率，利用基本不等式可得切点横坐标，从而可得切线方程. 【题目详解】 ， ，＝1时有最小值1，此时M(1，﹣2)， 故切线方程为：，即． 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查导数的几何意义，切点处的导数值等于切线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 16、 【答案解析】 由题意可知，，