2023年高考数学解答题分类汇编概率与统计高中数学.docx

2023年高考数学试题分类汇编——概率与统计 〔2023浙江理数〕19.(此题总分值l4分)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，假设投入的小球落到A，B，C，那么分别设为l，2，3等奖． 〔I〕获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望； (II)假设有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求． 解析：此题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。 (Ⅰ)解：由题意得ξ的分布列为 ξ 50％ 70％ 90％ p 那么Εξ=×50％+×70％+90％=. 〔Ⅱ〕解：由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=. 由题意得η～〔3，〕 那么P〔η=2〕=()2(1-)=. 〔2023湖南文数〕17. 〔本小题总分值12分〕 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取假设干人组成研究小组、有关数据见下表〔单位：人〕 （I） 求x,y ; （II） 假设从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。 〔2023全国卷2理数〕〔20〕〔本小题总分值12分〕 如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． 〔Ⅰ〕求p； 〔Ⅱ〕求电流能在M与N之间通过的概率； 〔Ⅲ〕表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望． 【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】 【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视. 〔2023陕西文数〕19 〔本小题总分值12分〕 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下： 〔〕估计该校男生的人数； 〔〕估计该校学生身高在170~185cm之间的概率； 〔〕从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm之间的概率。 解 〔〕样本中男生人数为40 ，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。 〔〕有统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率故有f估计该校学生身高在170~180cm之间的概率 〔〕样本中身高在180~185cm之间的男生有4人，设其编号为 样本中身高在185~190cm之间的男生有2人，设其编号为 从上述6人中任取2人的树状图为： 故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率 〔2023辽宁文数〕〔18〕〔本小题总分值12分〕 为了比拟注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组。每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的实验结果。〔疱疹面积单位：〕 〔Ⅰ〕完成下面频率分布直方图，并比拟注射两种药物后疱疹面积的中位数大小； 〔Ⅱ〕完成下面列联表，并答复能否有99.9％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异〞。 K^Sx5U.C# 附： 解： 〔Ⅰ〕 图1注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图2注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。 〔Ⅱ〕表3 疱疹面积小于 疱疹面积不小于 合计 注射药物 注射药物 合计 由于，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异〞. 〔2023辽宁理数〕〔18〕〔本小题总分值12分〕 为了比拟注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。 〔Ⅰ〕甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率； 〔Ⅱ〕下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.〔疱疹面积单位：mm2〕 表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表 〔ⅰ〕完成下面频率分布直方图，并比拟注射两种药物后疱疹面积的中位数大小； 〔ⅱ〕完成下面2×2列联表，并答复能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异〞. 表3： 解： 〔Ⅰ〕甲、乙两只家兔分在不同组的概率为 ……4分 〔Ⅱ〕〔i〕 图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。 ……8分 〔ii〕表3： 由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异〞。 ……12分 〔2023全国卷2文数〕〔20〕〔本小题总分值12分〕 如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T，T，T，T，电源能通过T，T，T的概率都是P，电源能通过T的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立。T，T，T中至少有一个能通过电流的概率为0.999。 〔Ⅰ〕求P； 〔Ⅱ〕求电流能在M与N之间通过的概率。 【解析】此题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率， 〔1〕设出根本领件，将要求事件用根本领件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用根本领件表示并求出概率即可求得P。 〔2〕将MN之间能通过电流用根本领件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。 〔2023江西理数〕18. 〔本小题总分值高☆考♂资♀源x网12分〕 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机〔即等可能〕为你翻开一个通道，假设是1号通道，那么需要1小时走出迷宫；假设是2号、3号通道，那么分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机翻开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。 （1） 求的分布列； （2） 求的数学期望。 【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。 （1） 必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，6 ，，， 1 3 4 6 分布列为： 〔2〕小时 〔2023安徽文数〕18、〔本小题总分值13分〕 某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如下〔主要污染物为可吸入颗粒物〕: 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (Ⅰ) 完成频率分布表； 〔Ⅱ〕作出频率分布直方图； 〔Ⅲ〕根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染。 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价. 【命题意图】此题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识. 【解题指导】〔1〕首先根据题目中的数据完成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污染指数，确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数。 (Ⅲ)答对下述两条中的一条即可： （1） 该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的，有26天处于良的水平，占当月天数的，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的。说明该市空气质量根本良好。 （2） 轻微污染有2天，占当月天数的。污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善。 【规律总结】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率.对于开放性问题的答复，要选择适当的数据特征进行考察，根据数据特征分析得出实际问题的结论. 〔2023重庆文数〕〔17〕〔本小题总分值13分，〔Ⅰ〕小问6分，〔Ⅱ〕小问7分. 〕 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传〞演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 假设采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序〔序号为1,2，……，6〕，求： 〔Ⅰ〕甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； 〔Ⅱ〕甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率. 〔2023重庆理数〕〔17〕〔本小题总分值13分，〔I〕小问5分，〔II〕小问8分〕 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传〞演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，假设采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序〔序号为1,2,……6〕，求： 〔I〕甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； 〔II〕甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。 〔2023山东文数〕〔19〕〔本小题总分值12分〕 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. 〔Ⅰ〕从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； 〔Ⅱ〕先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率. 〔2023北京理数〕(17)(本小题共13分) 某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3 (Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求，的值； (Ⅲ)求数学期望ξ。 解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩〞，=1,2,3，由题意知