内蒙古自治区通辽实验中学2023学年高三下第一次测试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点为不等式组所表示的平面区域上的动点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知集合则（ ） A． B． C． D． 3．已知复数z，则复数z的虚部为（ ） A． B． C．i D．i 4．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（ ） A． B． C． D． 5．已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 6．已知实数x，y满足，则的最小值等于（ ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 8．已知集合，，则集合的真子集的个数是（ ） A．8 B．7 C．4 D．3 9．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于两点（A在右支，B在左支）若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( ) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在中，、的坐标分别为，，且满足，为坐标原点，若点的坐标为，则的取值范围为__________. 14．设为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为的方差，则_____．（填>，<，=） 15．变量满足约束条件，则目标函数的最大值是____． 16．锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）2019年6月，国内的运营牌照开始发放.从到，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下： 用户分类 预计升级到的时段 人数 早期体验用户 2019年8月至2019年12月 270人 中期跟随用户 2020年1月至2021年12月 530人 后期用户 2023年1月及以后 200人 我们将大学生升级时间的早晚与大学生愿意为套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的）. （1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到的概率； （2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以表示这2人中愿意为升级多支付10元或10元以上的人数，求的分布列和数学期望； （3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由. 18．（12分）在中，内角的对边分别是，已知． （1）求的值； （2）若，求的面积． 19．（12分）随着时代的发展，A城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程.A城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展，目前A城市的常住人口大约为1300万.近日，某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在25~44岁之间.收集到的相关数据如下： 来A城市发展的理由 人数 合计 自然环境 1.森林城市，空气清新 200 300 2.降水充足，气候怡人 100 人文环境 3.城市服务到位 150 700 4.创业氛围好 300 5.开放且包容 250 合计 1000 1000 （1）根据以上数据，预测400万25~44岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人； （2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中再选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”的概率； （3）在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性；在选择“人文环境”作为来A城市发展的理由的700人中有400名男性；请填写下面列联表，并判断是否有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关？ 自然环境 人文环境 合计 男 女 合计 附：，. P（） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20．（12分）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，，若，，成等比数列． （1）求及； （2）设，设数列的前项和，证明：． 21．（12分）设数列的前n项和满足，，， （1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式﹔ （2）设，求证：. 22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）若射线与和分别交于点，求． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用的几何意义即可得到结论． 【题目详解】 不等式组作出可行域如图：，，， 的几何意义是动点到的斜率，由图象可知的斜率为1，的斜率为：， 则的取值范围是：，，． 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键． 2、B 【答案解析】 解对数不等式可得集合A，由交集运算即可求解. 【题目详解】 集合解得 由集合交集运算可得， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题. 3、B 【答案解析】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【题目详解】 ， 则复数z的虚部为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 4、B 【答案解析】 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【题目详解】 如图所示： 确定一个平面， 因为平面平面， 所以，同理， 所以四边形是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为， 所以， 即 所以 由余弦定理得： 所以 所以四边形 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 5、D 【答案解析】 弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素. 【题目详解】 因，所以，故，又， ，则， 故集合. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题. 6、D 【答案解析】 设，，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出． 【题目详解】 因为实数，满足， 设，， ， 恒成立， ， 故则的最小值等于. 故选：． 【答案点睛】 本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 7、D 【答案解析】 根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果. 【题目详解】 由已知可知，点为中点，为中点， 故可得，故可得； 代入椭圆方程可得，解得，不妨取， 故可得点的坐标为， 则，易知点坐标， 将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题. 8、D 【答案解析】 转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解. 【题目详解】 由题意得， ，集合的真子集的个数为个. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题. 9、C 【答案解析】 先利用等比数列的性质得到的值，再根据的方程组可得的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前项和，根据后两个公式可得正确的选项. 【题目详解】 因为为等比数列，所以，故即， 由可得或，因为为递增数列，故符合. 此时，所以或（舍，因为为递增数列）. 故，. 故选C. 【答案点睛】 一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质： （1）若，则； （2）公比时，则有，其中为常数且； （3） 为等比数列（ ）且公比为. 10、D 【答案解析】 根据双曲线的定义可得的边长为，然后在中应用余弦定理得的等式，从而求得离心率． 【题目详解】 由题意，，又， ∴，∴， 在中， 即，∴． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把到两焦点距离用表示，然后用余弦定理建立关系式． 11、D 【答案解析】 利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围. 【题目详解】 的定义域为，， 所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，，，，， 所以在区间上的最大值为. 要使在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形， 则需恒成立，且， 也即，也即当、时，成立， 即，且，解得.所以的取值范围是. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题. 12、B 【答案解析】 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【题目详解】 根据已知函数 其中，的图象过点，， 可得，， 解得：． 再根据五点法作图可得， 可得：， 可得函数解析式为： 故把的图象向左平移个单位长度， 可得的图象， 故选B． 【答案点睛】 本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由正弦定理可得点在曲线上，设，则，将代入可得，利用二次函数的性质可得范围. 【题目详解】 解：由正弦定理得， 则点在曲线上， 设，则， ， 又，