2023年高考数学试题精编34数列综合应用高中数学.docx

第三章 数列 四 数列综合应用 【考点阐述】 数列综合应用 【考试要求】 〔4〕运用等差数列、等比数列及求和知识解决数列综合问题。 【考题分类】 〔一〕选择题〔共2题〕 1.〔湖北卷文7〕等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，那么 A. B. C. D 【答案】C 2.〔江西卷理5〕等比数列中，，=4，函数，那么〔 〕 A． B. C. D. 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，那么只与函数的一次项有关；得：。 〔二〕填空题〔共1题〕 1.〔辽宁卷理16〕数列满足那么的最小值为__________. 〔三〕解答题〔共14题〕 1.〔安徽卷文21〕设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，为递增数列. (Ⅰ)证明：为等比数列； 〔Ⅱ〕设，求数列的前项和. 【命题意图】此题考查等比列的根本知识，利用错位相减法求和等根本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力. 【解题指导】〔1〕求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，证明为等比数列；〔2〕利用〔1〕的结论求的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和. 【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，假设数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和乘以公比，然后错位相减解决. 2.〔福建卷文17〕数列{} 中＝，前n项和满足-＝ 〔n〕. ( I ) 求数列{}的通项公式以及前n项和； 〔II〕假设S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t的值。 3.〔湖北卷文19〕某地今年年初拥有居民住房的总面积为a〔单位：m2〕，其中有局部旧住房需要撤除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也撤除面积为b〔单位：m2〕的旧住房。 〔Ⅰ〕分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式： 〔Ⅱ〕如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，那么每年撤除的旧住房面积b是多少？〔计算时取1.15=1.6〕 4.〔湖南卷文20〕给出下面的数表序列： 其中表n〔n=1,2,3 〕有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。 〔I〕写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n〔n≥3〕〔不要求证明〕； 〔II〕每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 求和： 5.〔江苏卷19〕设各项均为正数的数列的前n项和为，，数列是公差为的等差数列。 〔1〕求数列的通项公式〔用表示〕； 〔2〕设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。 [解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及根本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。总分值16分。 〔1〕由题意知：， ， 化简，得： ， 当时，，适合情形。 故所求 〔2〕〔方法一〕 ， 恒成立。 又，， 故，即的最大值为。 〔方法二〕由及，得，。 于是，对满足题设的，，有 。 所以的最大值。 另一方面，任取实数。设为偶数，令，那么符合条件，且。 于是，只要，即当时，。 所以满足条件的，从而。 因此的最大值为。 6.〔江西卷理22〕证明以下命题： 对任一正整a,都存在整数b,c(b<c)，使得成等差数列。 存在无穷多个互不相似的三角形△，其边长为正整数且成等差数列。 【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 〔1〕考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。 证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。 证明：当成等差数列，那么， 分解得： 选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解 比照目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立， 考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数m，n，假设△m，△相似：那么三边对应成比例， 由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 7.〔江西卷文22〕正实数数列中,,且成等差数列. (1) 证明数列中有无穷多项为无理数； (2)当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和. 证明：〔1〕由有：，从而， 方法一：取，那么〔〕 用反证法证明这些都是无理数. 假设为有理数，那么必为正整数，且， 故.,与矛盾， 所以〔〕都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数; 方法二：因为，当的末位数字是时，的末位数字是和，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多． (2) 要使为整数，由可知： 同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或 当时，有〔〕 又必为偶数，所以〔〕满足 即〔〕时，为整数； 同理有〔〕 也满足，即〔〕时，为整数； 显然和〔〕是数列中的不同项； 所以当〔〕和〔〕时，为整数； 由〔〕有， 由〔〕有. 设中满足的所有整数项的和为，那么 8.〔全国Ⅰ新卷理17〕设数列满足 求数列的通项公式； 令，求数列的前n项和 解： 〔Ⅰ〕由，当n≥1时， 。 而 所以数列{}的通项公式为。 〔Ⅱ〕由知 ① 从而 ② ①-②得 。 即 9. 〔上海卷理20〕数列的前项和为，且， 〔1〕证明：是等比数列； 〔2〕求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。 解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以， 又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列； (2) 由(1)知：，得，从而(nÎNx)；解不等式Sn<Sn+1，得，，当n≥15时，数列{Sn}单调递增； 同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n=15时，Sn取得最小值． 10. 〔上海卷文21〕数列的前项和为，且， (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数. 解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以， 又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列； (2) 由(1)知：，得，从而(nÎNx)； 由Sn+1>Sn，得，，最小正整数n=15． 11. 〔四川卷理21〕数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈Nx都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2 〔Ⅰ〕求a3，a5； 〔Ⅱ〕设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈Nx)，证明：{bn}是等差数列； 〔Ⅲ〕设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈Nx)，求数列{cn}的前n项和Sn. 12. 〔天津卷理22〕在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为。 (Ⅰ)假设=2k，证明成等比数列〔〕； (Ⅱ)假设对任意，成等比数列，其公比为. 〔i〕设1.证明是等差数列； (ii)假设，证明 【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等根底知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。 【解析】〔Ⅰ〕证明：由题设，可得。 所以 = =2k(k+1) 由=0，得 于是。 所以成等比数列。 〔Ⅱ〕证法一：〔i〕证明：由成等差数列，及成等比数列，得 当≠1时，可知≠1，k 从而 所以是等差数列，公差为1。 〔Ⅱ〕证明：，，可得，从而=1.由〔Ⅰ〕有 所以 因此， 以下分两种情况进行讨论： 当n为偶数时，设n=2m() 假设m=1,那么. 假设m≥2，那么 + 所以 (2)当n为奇数时，设n=2m+1〔〕 所以从而··· 综合〔1〕〔2〕可知，对任意,,有 证法二：〔i〕证明：由题设，可得 所以 由可知。可得， 所以是等差数列，公差为1。 〔ii〕证明：因为所以。 所以，从而，。于是，由〔i〕可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。 从而。 所以，由，可得 。 于是，由〔i〕可知 以下同证法一。 13. 〔天津卷文22〕在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k. 〔Ⅰ〕证明成等比数列； 〔Ⅱ〕求数列的通项公式； 〔Ⅲ〕记，证明. 【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等根底知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。 【解析】〔I〕证明：由题设可知，，，，， 。 从而，所以，，成等比数列。 〔II〕解：由题设可得 所以 . 由，得 ，从而. 所以数列的通项公式为或写为，。 〔III〕证明：由〔II〕可知，， 以下分两种情况进行讨论： 当n为偶数时，设n=2m 假设，那么， 假设，那么 . 所以，从而 当n为奇数时，设。 所以，从而 综合〔1〕和〔2〕可知，对任意有 14. 〔上海春卷23〕首项为的数列满足〔为常数〕。 〔1〕假设对于任意的，有对于任意的都成立，求的值； 〔2〕当时，假设，数列是递增数列还是递减数列？请说明理由； 〔3〕当确定后，数列由其首项确定，当时，通过对数列的探究，写出“是有穷数列〞的一个真命题〔不必证明〕。