内蒙古乌兰察布市集宁区2023学年高三3月份模拟考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为(　　) A． B． C．或－ D．和－ 3．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）． A． B． C． D． 4．已知点为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于A，B两点，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 5．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为，设地球半径为，该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A． B． C． D． 6．设集合则（ ） A． B． C． D． 7．函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A． B． C． D． 8．已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则＝（ ） A．{2，3，4，5} B．{2，3，4，5，6} C．{1，2，3，4，5，6} D．{1，3，4，5，6，7} 9．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中真命题的个数为（ ） A． B． C． D． 10．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（ ） A． B． C． D． 11．设集合，，则( ) A． B． C． D． 12．三棱锥中，侧棱底面，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，，，0，2，则该组数据的标准差为_______. 14．已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________. 15．设，若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是_____ 16．已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知六面体如图所示，平面，，，，，，是棱上的点，且满足. （1）求证：直线平面； （2）求二面角的正弦值. 18．（12分）已知函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 19．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且） （1）求数列的通项公式； （2）证明：当时， 20．（12分）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，且平面． （1）求证：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣asinB＝1． （1）求A； （2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积． 22．（10分）在平面四边形(图①)中，与均为直角三角形且有公共斜边，设，∠，∠，将沿折起，构成如图②所示的三棱锥，且使=. （1）求证：平面⊥平面； （2）求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【题目详解】 构造函数， 因为， 所以， 所以为奇函数， 当时，，所以在上单调递减， 所以在R上单调递减. 因为存在， 所以， 所以， 化简得， 所以，即 令， 因为为函数的一个零点， 所以在时有一个零点 因为当时，， 所以函数在时单调递减， 由选项知，， 又因为， 所以要使在时有一个零点， 只需使，解得， 所以a的取值范围为，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大. 2、C 【答案解析】 直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果． 【题目详解】 如图，直线过定点（0，1）， ∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°， ∴由对称性可知k=±． 故选C． 【答案点睛】 本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题． 3、A 【答案解析】 基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率． 【题目详解】 解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数， 基本事件总数， 其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个， 其和等于的概率． 故选：． 【答案点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 4、D 【答案解析】 设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形， 设，得，求出的值，即得解. 【题目详解】 设双曲线C的左焦点为，连接， 由对称性可知四边形是平行四边形， 所以，. 设，则， 又.故， 所以. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5、A 【答案解析】 由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 【题目详解】 椭圆的离心率：，（ c为半焦距; a为长半轴）， 设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r，n，如图： 则 所以,, 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题. 6、C 【答案解析】 直接求交集得到答案. 【题目详解】 集合，则. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了交集运算，属于简单题. 7、D 【答案解析】 由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可. 【题目详解】 解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由， 得，当时，. 故选D. 【答案点睛】 本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题. 8、C 【答案解析】 根据集合的并集、补集的概念，可得结果. 【题目详解】 集合A＝{x∈N|x2＜8x}＝{x∈N|0＜x＜8}， 所以集合A＝{1，2，3，4，5，6，7} B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}， 故＝{1，4，5，6}， 所以＝{1，2，3，4，5，6}. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题. 9、C 【答案解析】 利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决. 【题目详解】 如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线 平行于平面与平面的交线时也有，，故②错误；若，则垂直平面 内以及与平面平行的所有直线，故③正确；若，则存在直线且，因 为，所以，从而，故④正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题. 10、B 【答案解析】 模拟程序框图运行分析即得解. 【题目详解】 ； ；. 所以①处应填写“” 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11、D 【答案解析】 利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可. 【题目详解】 由题意知,集合,, 由集合的交运算可得,. 故选:D 【答案点睛】 本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题. 12、B 【答案解析】 由题，侧棱底面，，，，则根据余弦定理可得 ，的外接圆圆心 三棱锥的外接球的球心到面的距离 则外接球的半径 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径 公式是解答的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差． 【题目详解】 解：某地区连续5天的最低气温（单位：依次为8，，，0，2， 平均数为：， 该组数据的方差为： ， 该组数据的标准差为1． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 14、 【答案解析】 设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故，由双曲线定义可得，再求的值域即可. 【题目详解】 如图， 设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形， 故. 在中， 由双曲线的定义可得 ， . 故答案为： 【答案点睛】 本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题. 15、 【答案解析】 先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解. 【题目详解】 因为，所以，令得， 因为函数有大于0的极值点，所以，即. 【答案点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想. 16、 【答案解析】 根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程. 【题目详解】 因为， 所以， 又 故切线方程为， 整理为， 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）证明见解析（2） 【答案解析】 （1）连接，设，连接.通过证明，证得直线平面. （2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的正弦值. 【题目详解】 （1）连接，设，连接， 因为，所以，所以， 在中，因为， 所以，且平面， 故平面. （2）因为，，，，，所以， 因为，平面，所以平面， 所以，， 取所在直线为轴，取所在直线为轴，取所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得，，，， 所以，因为， 所以， 所以点的坐标为， 所以，，设为平面的法向量， 则，令，解得，， 所以，即为平面的一个法向量. ， 同理可求得平面的一个法向量为 所以 所以二面角的正弦值为 【答案点睛】 本小题主要