2023年高中数学《空间直线》知识精讲旧人教版.docx

高二数学空间直线人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 空间直线 1. 空间两条直线的位置关系 位置关系 图 示 表示方法 公共点个数 A α a b 两 两直线 直 相 交 a∩b＝A 一个 线 b a 共 两直线 a∥b 没有 面 平行 A α b 两直线不在同 a、b是异面 没有 一平面内 直线 2. 平行公理： 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理： 一个角的两边和另一个角的两边分别平行同时方向一样，那麽这两个角相等。 推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那麽这两组直线所成的锐角（或直角）相等 。 3. 异面直线 （1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。 （2）画法： （3）异面直线断定： ①用定义：（多用反证法） ②断定：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不通过该点的直线是异面直线。 4. 异面直线所成的角： 过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（成直角）叫两条异面直线所成的角。 求两条异面直线所成的角的一般步骤是： （1）构造：用平移法作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角确实是要求的角； （3）计算：利用三角形求角； （4）结论． 假设两条异面直线所成角是直角，那么称两异面直线垂直。 异面垂直 空间两直线垂直 相交垂直 4. 异面直线的公垂线及间隔： （1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线 （公垂线存在且唯一） （2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的局部 （3）异面直线间的间隔 ：公垂线段的长 Ⅰ假设一个平面过一条直线并与另一条直线平行，那么这直线与平面的间隔就等于异面直线间的间隔。 Ⅱ假设两个平行平面分别过两条异面直线那么两平行平面的间隔等于两异面直线间的间隔。 【典型例题】 例1. 在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足 （1）求证：M、N、P、Q共面． （2）当对角线AC＝a，BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a、b表示) 在同一平面内 ∴MN∥AC又NP∥BD ∴MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角． ∵MNPQ是正方形∠MNP＝90° ∴AC与BD所成的角为90° 【说明】在空间证明两直线平行的根本根据确实是公理4——平行直线具有传递性。 在平面几何中有关平行的定理只能处理在一个平面内的直线平行咨询题，在两个平面内的两条直线平行的断定中仍借助于公理4，这是证明空间两直线平行的根本出发点。 求K的值就要建立K的方程，解方程的思想仍是求值的重要数学思想。 例2. 已经知道a，b是异面直线，求证：过b上的点所做的与a平行的直线都在同一平面内 证明：如图在b上任取一点P，作与a平行的直线c ∴b，c确定一个平面a 假设存在与直线a平行的直线l，满足L与b交于Q但lËa ∴l∩a＝ Q ∴b、l确定一个平面，记作b ∴a∩b＝b，且l∥c ∴l∥a，这与L∩a＝ Q矛盾 ∴L Ìa，即过b上的点所作的与a平行的直线都在同一平面内 留意：要掌握反证法的逻辑思维方法和表达方法。 例3. 正方体AC1中 （1）和棱AA1异面棱是哪些？和AA1异面的面对角线有哪些？ （2）面对角线B1C成异面垂直的棱有哪些？面对角线？ （3）求BD和B1C所成的角 （4）求BD1和B1C所成的角 （5）BD1不和哪些面对角线垂直？ （6）BD1与C C1之间的间隔。 解：（1）和棱AA1异面的棱是BC，CD，B1 C1，C1 D1 面对角线BD，B C1，B1C，C D1，D C1，B1 D1 （2）棱：C1D1，AB 面对角线：A D1 （3）∠D1B1C为所求角 ∵B1D1＝B1C＝C1D＝a ∴BD与B1C所成角为60° （4）①找 D1 C1^平面B1 C D1B是面B1 C的斜线 B1 C是B D1在平面 B1 C上的射影 ∵B1 C^ B C1 ∴B D1^ B1 C（三垂直定理） ∴B D1和B1 C所成角是90° ②割补法 （5）凡异面那么都垂直（6条）不垂直6条BD，B1D1，AD1，CD1，A1B，BC1 （6）解一：连A1C交BD1于E取CC1 中点F连EF，EF为△CA1C1的中位线。 ∴EF∥A1C1 又∵CC1^ 面A1C1 ∴ CC1^ A1C1 ∴EF^CC1 又∵D1F＝BF ∴E是BD1中点 ∴EF为异面直线BD1与CC1间的间隔 EF＝A1C1＝a 解二：（转化为线面间隔）平面BB1D1D过直线BD1 直线C1C∥平面BB1D1D ∴CC1到面BB1D1D的间隔确实是异面直线BD1与CC1的间隔 连AC交BD于O，OC^BO，OC^BB1 ∴OC^平面BB1D1D ∴OC确实是CC1与平面BB1D1D的间隔 ∴两异面直线见间隔为OC＝AC＝a 例4. 如图，空间四边形ABCD中，E、F分别为AB与CD的中点，假设AC＝BD＝2，，求异面直线AC与BD所成的角。 解：取AD的中点G，连结EG，FG，那么EG∥BD，GF∥AC， ∠EGF＝120°是异面直线AC与BD所成角的补角，异面直线AC与BD所成的角是60°。 评析：异面直线所成角为锐角或直角，因此其余弦值不能为负数，假设求出角的余弦值为负数说明它是异面直线所成角的补角．此题假设答异面直线所成角是120°确实是错误的． 例5. 间四边形ABCD，AB＝BC＝CD＝DA＝a对角线AC＝BD＝b，E、F、G、H分别为四边中点。 求：（1）四边形FEGH的面积 （2）BD与AC的间隔 解：（1）∵E，H分别为AB，AD中点 ∴EHBD 同理FGBD ∴EHFG ∴四边形EFGH为平行四边形， 取BD中点O连AO，CO ∵AB＝AD，BC＝CD ∴AO^BD，CO^BD ∴BD^平面AOC ∴BD^AC 又H，G为AD，CD中点 ∴HGAC ∴EH^HG ∵BD＝AC＝b ∴EH＝HG＝b ∴四边形为正方形 ∴SEFGH＝EH2＝ （2）在△AOC中作OM^AC于M ∵AB＝AD＝BC＝CD ∴△AOB≌△CBO ∴OC＝OA ∴M为AC中点 ∵BD^平面AOC ∴BD^OM ∴OM为AC与BD的公垂线段即异面直线BD与AC的间隔 在Rt△AOD中AO2＝AD2—（BD）2＝a2—b2 在Rt△AMO中OM2＝OA2—AM2＝ a2—b2—b2 ∴OM＝＝ 即BD与AC间的间隔为。 两条直线的位置关系是最简单、最根本的位置关系，由于空间任意两条直线不管重合或相交或平行的时候，这两条直线在同一平面上，因此除了空间平行直线的传递性以外，以上几种情况都可归结为平面上的直线关系，剩下的是空间不共面的两条直线，即异面直线的互相关系了，异面直线是立体几何的重点和难点之一，几乎每年都被考察，考察内容涉及以下几个方面： l）异面直线的定义； 2）异面直线所成的角； 3）已给出异面直线的公垂线时，两异面直线间的间隔； 4）用反证法证明有关异面直线的咨询题． 例6. 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是____（92年全国高考选择题） 解析：如图将AM平移到M1B1，CN平移到N1B1，那么M1、N1分别是AB，CC1的中点。且∠M1B1N1是AM与CN所成的角。连CM1，中，，。由余弦定理得 说明：求异面直线所成角首先要做必要的平行线，原那么上做一条平行线可处理咨询题，就不做两条。平行线的做法远不止一种，此题还可过N点引B1M1的平行线，也可过MM1做一个平面与侧面BC1平行，在所在平面内过M做B1N1的平行线。 例7. 以下命题中正确的一个是（ ） （A）假设a与b是异面直线,b与c也是异面直线，那么a与c也是异面直线 （B）已经知道异面直线a，b两条直线c，d分别与a，b都相交于，那么c，d也是异面直线 （C）四个角都是直角的四边形一定是矩形 （D）两条异面直线可能没有公垂线 分析：假设ABCD是空间四边形， 那么ABCD一定是异面直线 ∵BC^AB，BC∩AB＝B，BC^CD，BC∩CD＝C ∴BC为异面直线AB，CD公垂线 同理AD也是AB，CD公垂线矛盾。（唯一性） 答案：C 例8. 关于异面直线a，b下述命题中不正确的一个是（ ） A. 过直线a有且只有一个平面平行于b B. 过直线a有且只有一个平面垂直于b C. 存在分别通过直线a与b的两个互相平行的平面 D. 存在分别通过直线a与b的两个互相垂直的平面 分析：当异面直线a与b不垂直时，由线面垂直定义可知过a的任何平面中都有直线a与b不垂直，故直线b一定不过a的平面垂直。 在处理有关异面直线的咨询题时，要把立体几何的各局部知识内容联络起来考虑，才能较全面的认识异面直线的性质 答案：B 【模仿试题】 1. 已经知道a，b为异面直线，a，b为平面假设 aÌa bÌb，且aÇb＝c那么以下结论中一定正确的选项（ ） （A） a∩c＝Æ 且b∩c＝Æ （B） a∩c＝Æ 且b∩c≠Æ （C） a∩c＝Æ或b∩c＝Æ （D） a∩c≠Æ或b∩c≠Æ 2. 在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝a，E、F分别是AB、CD的中点。 （1）求证EF是AB和CD的公垂线 （2）求AB和CD间的间隔． 3. 如图， P是△ABC所在平面外一点， D、E分别是PAB、PBC的重心，求证：且。 4. 已经知道：a、b为异面直线，a上两点