2023年物理教育中现代数学思考.docx

物理教育中现代数学思考 物理学研究的终极理论是揭示整个宇宙的秘密。那么在这个过程中，要用大量现代的数学语言来描述物理是无容置疑的。然而目前绝大多数的物理学家的数学功底都不敢恭维，等到需要相关的数学知识时，才发现弥补起来是难于上青天。就连对数学功底相对扎实的杨振宁来说也并非易事，其自学相关数学的结果竟是“什么也没学到〞。那么可想而知，其他物理学家学习相关数学的时候，效果不会太理想，这将直接影响到物理研究的进度。作者认为，物理学家在成长的过程中，无视对其现代数学知识的教育是造成这一现状的根本原因。本文作者结合自身的兴趣领域首先回忆了理论物理和现代数学的紧密联系，然后指出目前高等物理教育中对现代数学教学内容安排缺乏的现状，最后给出在高等物理教育中加强现代数学教育的一点尝试性建议，希望以此对高等物理教学与科研产生一些有益的推动。 一、现代理论物理和现代数学的一些紧密联系 最简单的例子是牛顿第二运动定律。f=ma，f是力，是物理量，m是质量，a是加速度，在几何中称为曲率，因此通过等号物理与数学联系起来了。拉格朗日开展的分析力学还可以用辛流形描述。众所周知的例子是爱因斯坦的广义相对论方程和黎曼几何。1905年爱因斯坦发表了狭义相对论，然而相隔十年之久于1916年才发表了广义相对论，其中最重要的原因是其数学工具不够，直到后来在其同学和朋友友格罗斯曼的帮助下，通过黎曼几何的语言终于得到了广义相对论方程。 杨振宁是当代的大物理学家，又是现代数学开展的重要推动者，他的两项巨大成就：1954年，和米尔斯发表了杨密尔斯标准场和杨–巴克斯特方程，成为80年代以来一系列数学研究的出发点，其影响普及微分几何、偏微分方程、低维拓扑等重大数学学科。1975年，杨振宁和吴大峻列了一张对照表，把纤维丛和标准场的根本对象都一一对应起来，比方说麦克斯韦方程是复一维纤维丛u）上的联络，在同位旋标准场时，杨-米尔斯标准场理论实际上是复二维纤维丛su（2）上的联络。在数学中，李群（liegroup）是具有群结构的实流形或者复流形，并且群中的加法运算和逆元运算是栁形中的解析映射。李群在数学分析、物理和几何中都有非常重要的作用。还有非交换几何、例外群和约旦代数等于与理论物理的前沿研究都非常密切。 二、目前物理教育中现代数学教育现状 从前面的事实我们可以看到，许多物理理论和现代数学特别是代数和几何联系非常紧密，如果我们能熟练的运用这些工具无疑将对物理研究起到非常重要的推动作用，然而目前我国的高等物理教育现状是学物理的学生只学了一点点最根本的近代数学。现在我们知道广义相对论用的数学工具是黎曼几何，但是如果要学习黎曼几何，前面需要预修的课程有微分几何和微分流行，而学物理的学生的现状是在微分几何、微分流行和黎曼几何都一无所知的情况下就直接去学习广义相对论，因此要想彻底理解并熟练推导几乎是不可能的事。 群论课程，其本身属于代数学的范畴，但是学生在没有接触预修课程抽象代数的前提下直接学习群论也有些勉强。量子场论，学生在没有学习复几何和纤维丛理论的前提下，按照物理的逻辑也可以学习，但是你对其数学工具都不知道，结果可能总有一种“只在此山中，云深不知处〞的感觉。还有对于以后的科研特别是前沿的弦论要用到大量的代数和几何的知识，如果在本科和硕博士期间没有得到系统的数学培养，等意识到需要这些数学工具并且仅仅依靠自学的话可能确实不大容易，杨振宁在自学了一段纤维丛的理论后“什么也没学到〞，我想大多数人并不会比杨振宁有更多收获。 因此，在上学期间给学物理的学生搭建一个学习现代数学的平台是至关重要的事情。 三、在高等物理教育中进行现代数学教育的一点尝试性建议伟大的革命导师恩格斯，站在辩证唯物主义的理论高度，指出“数学是数量的科学〞，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系〞。纯粹数学也叫根底数学，专门研究数学本身的内部规律。中小学课本里介绍的代数、几何、微积分、概率论知识，都属于纯粹数学。他的一个显著特点，就是暂时撇开具体内容，以纯粹形式研究事物的数量关系和空间形式。如研究梯形的面积计算公式，至于它是梯形稻田的面积，还是梯形机械零件的面积，都无关紧要，大家关心的只是蕴含在这种几何图形中的数量关系。根据高等物理教育的课程需要和以后的再学习及科研开展需要，我们针对不同教育阶段作如下尝试性建议。在本科阶段，把微分几何和抽象代数作为专业必修课是非常必要的，高等代数、点集拓扑和泛函分析可以作为选修课。对于高等代数、点集拓扑和泛函分析我们建议选修。我们通过回忆现代数学和物理的联系，结合目前高等物理教育的现状，针对物理课程学习与科研的需要，提出了一点加强现代数学教学的尝试性建议，希望以此抛砖引玉对高等物理教育与科研产生一些有益的推动。 第4页 共4页