2023年高考数学一轮复习讲义17算法案例.docx

一．【课标要求】 通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学开展的奉献。 二．【命题走向】 算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。 预测2023年高考队本讲的考察是：以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右，考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目 三．【要点精讲】 1．求最大公约数 〔1〕短除法 求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来 〔2〕穷举法〔也叫枚举法〕 穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数 〔3〕辗转相除法 辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： ① 输入两个正整数m和n； ② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中； ③更新被除数和余数：m=n，n=r； ④判断余数r是否为0。假设余数为0，那么输出结果；否那么转向第②步继续循环执行 如此循环，直到得到结果为止。 〔4〕更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之 步骤： Ⅰ．任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。假设是，用2约简；假设不是，执行第二步。 Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比拟，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，那么这个数〔等数〕就是所求的最大公约数。 2．秦九韶算法 秦九韶算法的一般规那么： 秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x=x0时的函数值，可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求 v0=an v1=anx+an－1 v2=v1x+an－2 v3=v2x+an－3 …….. vn=vn－1x+a0 观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时要用到vk－1的值，假设令v0=an。 我们可以得到下面的递推公式： v0=an vk=vk－1+an－k(k=1,2,…n) 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现 排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序 〔1〕直接插入排序 在日常生活中，经常碰到这样一类排序问题：把新的数据插入到已经排好顺序的数据列中。 例如：一组从小到大排好顺序的数据列{1，3，5，7，9，11，13}，通常称之为有序列，我们用序号1，2，3，……表示数据的位置，欲把一个新的数据8插入到上述序列中。 完成这个工作要考虑两个问题： 〔1〕确定数据“8〞在原有序列中应该占有的位置序号。数据“8〞所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。 〔2〕将这个位置空出来，将数据“8〞插进去。 对于一列无序的数据列，例如：{49，38，65，97，76，13，27，49}，如何使用这种方法进行排序呢？根本思想很简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增加，一直到完成整个无序列就有序了 首先，{49}是有序列，我们将38插入到有序列{49}中，得到两个数据的有序列： {38，49}， 然后，将第三个数据65插入到上述序列中，得到有序列： {38，49，65} ………… 按照这种方法，直到将最后一个数据65插入到上述有序列中，得到 {13，27，38，49，49，65，76，97} 这样，就完成了整个数据列的排序工作。注意到无序列“插入排序算法〞成为了解决这类问题的平台 〔2〕冒泡法排序 所谓冒泡法排序，形象地说，就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。一个小的数据就好比水中的气泡，往上移动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。显然最终会沉到水底，最轻的会浮到顶，反复进行，直到数据列排成为有序列。以上过程反映了这种排序方法的根本思路。 我们先对一组数据进行分析。 设待排序的数据为：{49，38，65，97，76，13，27，49} 排序的具体操作步骤如下： 1．将第1个数与右边相邻的数38进行比拟，因为38<49，49应下沉，即向右移动，所以交换他们的位置，得到新的数据列： {38，49，65，97，76，13，27，49} 2．将新数据列中的第2个数49与右边相邻的数65进行比拟，因为65>49，所以顺序不变，得到新的数据列： {38，49，65，97，76，13，27，49} 3．将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进行比拟，因为97>65，所以顺序不变，得到新的数据列： {38，49，65，97，76，13，27，49} 4．将新数据列中的第4个数97与右边相邻的数76进行比拟，因为76<97，97应下沉，所以顺序不变，得到新的数据列： {38，49，65， 76，97，13，27，49} 5．将新数据列中的第5个数97与右边相邻的数13进行比拟，因为13<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列： {38，49，65， 76， 13，97，27，49} 6．将新数据列中的第6个数97与右边相邻的数27进行比拟，因为27<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列： {38，49，65， 76， 13，97，27，49} 7．将新数据列中的第7个数97与右边相邻的数49进行比拟，因为49<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列： {38，49，65， 76， 13，97， 49，27} 我们把上述过程称为一趟排序。其根本特征是最大的数据沉到底，即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。反复执行上面的步骤，就能完成排序工作，排序过程不会超过7趟。这种排序的方法称为冒泡排序。 上面的分析具有一般性，如果数据列有n个数据组成，至多经过n－1趟排序，就能完成整个排序过程 4．进位制 〔1〕概念 进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9进行记数。 对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比方：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。 一般地，假设k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为： ， 而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数。 〔2〕进位制间的转换 关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。 非十进制数转换为十进制数比拟简单，只要计算下面的式子值即可： 第一步：从左到右依次取出k进制数各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即； 第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数。 十进制数转换成非十进制数 把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法〞，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法〞。 非十进制之间的转换 一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先有二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数。 四．【典例解析】 题型1：求最大公约数 例1．〔1〕用辗转相除法求123和48的最大公约数？ 〔2〕用更相减损来求80和36的最大公约数？ 解析：〔1〕辗转相除法求最大公约数的过程如下：〔建立带余除式〕 　　123＝2×48＋27 　　48＝1×27＋21 　　27＝1×21＋6 　　21＝3×6＋3 　　6＝2×3+0 最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3。 〔2〕分析：我们将80作为大数，36作为小数，执行更相减损术来求两数的最大公约数。执行结束的准那么是减数和差相等 更相减损术： 因为80和36都是偶数，要去公因数2。 80÷2=40，36÷2=18； 40和18都是偶数，要去公因数2。 40÷2=20，18÷2=9 下面来求20与9的最大公约数， 20－9=11 11－9=2 9－2=7 7－2=5 5－2=3 3－2=1 2－1=1 可得80和36的最大公约数为22×1=4。 点评：比照两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等。 例2．设计一个算法，求出840与1764的最大公因数。 解析：我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法，下面的算法就是在此根底上设计的。 解题思路如下： 首先对两个数进行素因数分解： 840=23×3×5×7，1764=22×32×72， 其次，确定两个数的公共素因数：2，3，7。 接着确定公共素因数的指数：对于公共素因数2，840中为23，1764中为22，应取较少的一个22，同理可得下面的因数为3和7。 算法步骤： 第一步：将840进行素数分解23×3×5×7； 第二步：将1764进行素数分解22×32×72； 第三步：确定它们的公共素因数：2，3，7； 第四步：确定公共素因数2，3，7的指数分别是：2，1，1； 第五步：最大公因数为22×31×71=84。 点评：质数是除１以外只能被１和本身整除的正整数，它应该是无限多个，但是目前没有一个规律来确定所有的质数 题型2：秦九韶算法 例3．〔2023福州模拟〕如果执行右面的程序框图，那么输出的 〔　　 〕 否 是 A．22 B．46 C． D．190 答案 C 2、〔2023浙江卷理〕某程序框图如以下图，该程序运行后输出的的 值是 〔 〕 A． B． C． D． 【解析】对于，而对于，那么 ，后面是，不 符合条件时输出的． 答案 A 3、〔2023天津卷理〕阅读上〔右〕图的程序框图，那么输出的S= ( ) A 26 B 35 C 40 D 57 【解析】当时，；当时，；当 时，；当时，；当时， ；当时，，应选择C。 答案　　Ｃ 4〔2023安徽卷文〕程序框图上〔右〕〔即算法流程图〕如以下图，其输入结果是_______。 【解析】根据流程图可得的取值依次为1、3、7、15、31、63…… 答案 127 点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次。 例4．多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值。 解析：把多项式变形为：f(x)= 2x5－