内蒙古师范大学附属中学2023学年高三下学期联合考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，，，，点满足，则等于（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ） A． B． C． D． 3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，） C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg 4．若的展开式中的系数之和为，则实数的值为（ ） A． B． C． D．1 5．已知函数．下列命题：①函数的图象关于原点对称；②函数是周期函数；③当时，函数取最大值；④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 6．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（ ） A． B． C． D． 7．已知平面向量满足，且，则所夹的锐角为（ ） A． B． C． D．0 8．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示： 根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低 C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益 D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 9．函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 12．公差不为零的等差数列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{an}的公差等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．二项式的展开式中项的系数为_____． 14．数据的标准差为_____． 15．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________． 16．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为（），直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求r的值. 18．（12分）已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：. 19．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，为数列的前项和，记，证明：． 20．（12分）已知函数. （Ⅰ）当时，求不等式的解集； （Ⅱ）若存在满足不等式，求实数的取值范围. 21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且过点. 求椭圆的方程； 已知是椭圆的内接三角形， ①若点为椭圆的上顶点，原点为的垂心，求线段的长； ②若原点为的重心，求原点到直线距离的最小值. 22．（10分）对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数． （1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可） （2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由） （3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 利用已知条件，表示出向量 ,然后求解向量的数量积． 【题目详解】 在中，，，，点满足，可得 则== 【答案点睛】 本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量． 2、B 【答案解析】 设，根据复数的几何意义得到、的关系式，即可得解； 【题目详解】 解：设 ∵，∴，解得. 故选：B 【答案点睛】 本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题. 3、D 【答案解析】 根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确； 回归直线过样本点的中心（），B正确； 该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确； 该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误． 故选D． 4、B 【答案解析】 由，进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数，令二者之和等于，可求出实数的值. 【题目详解】 由， 则展开式中的系数为，展开式中的系数为， 二者的系数之和为，得. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 5、A 【答案解析】 根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为，最值点即为极值点，由知③错误；令，在和两种情况下知均无零点，知④正确. 【题目详解】 由题意得：定义域为， ，为奇函数，图象关于原点对称，①正确； 为周期函数，不是周期函数，不是周期函数，②错误； ，，不是最值，③错误； 令， 当时，，，，此时与无交点； 当时，，，，此时与无交点； 综上所述：与无交点，④正确. 故选：. 【答案点睛】 本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求. 6、B 【答案解析】 设点、，并设直线的方程为，由得，将直线的方程代入韦达定理，求得，结合的面积求得的值，结合焦点弦长公式可求得. 【题目详解】 设点、，并设直线的方程为， 将直线的方程与抛物线方程联立，消去得， 由韦达定理得，， ，，，，， ，可得，， 抛物线的准线与轴交于， 的面积为，解得，则抛物线的方程为， 所以，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 7、B 【答案解析】 根据题意可得，利用向量的数量积即可求解夹角. 【题目详解】 因为 即 而 所以夹角为 故选：B 【答案点睛】 本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题. 8、D 【答案解析】 用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项. 【题目详解】 用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 收益 20 30 20 10 30 30 60 40 30 30 50 30 所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D. 【答案点睛】 本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题. 9、B 【答案解析】 根据图象以及题中所给的条件，求出和，即可求得的解析式，再通过平移变换函数图象关于轴对称，求得的最小值. 【题目详解】 由于，函数最高点与最低点的高度差为， 所以函数的半个周期，所以， 又，，则有，可得， 所以， 将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，即平移后为偶函数， 所以的最小值为1， 故选：B. 【答案点睛】 该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目. 10、C 【答案解析】 根据已知条件求得等差数列的通项公式，判断出最小时的值，由此求得的最小值. 【题目详解】 依题意，解得，所以.由解得，所以前项和中，前项的和最小，且. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，考查等差数列前项和最值的求法，属于基础题. 11、B 【答案解析】 由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积. 【题目详解】 由三视图可知，该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的， 如图，故其表面积为， 故选：B. 【答案点睛】 (1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 12、B 【答案解析】 设数列的公差为.由，成等比数列，列关于的方程组，即求公差. 【题目详解】 设数列的公差为， ①. 成等比数列，②， 解①②可得. 故选：. 【答案点睛】 本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、15 【答案解析】 由题得，，令，解得，代入可得展开式中含x6项的系数. 【题目详解】 由题得，，令，解得， 所以二项式的展开式中项的系数为. 故答案为：15 【答案点睛】 本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题. 14、 【答案解析】 先计算平均数再求解方差与标准差即可. 【题目详解】 解：样本的平均数, 这组数据的方差是 标准差, 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了标准差的计算,属于基础题. 15、 【答案解析】 试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到平面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为． 考点：几何体的体积的计算． 16、6 12π﹣9 【答案解析】 过作，交于，先求得圆心角的弧度数，然后解解三角形求得的长.利用扇形面积减去三角形的面积，求得弧田的面积. 【题目详解】 ∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过作，交于，根据圆的几何性质可知，垂直平分. ∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6， ∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6， ∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝