云南省西双版纳市2023学年高三下第一次测试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）． A． B． C． D． 3．已知的面积是,, ,则（ ） A．5 B．或1 C．5或1 D． 4．若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知集合，集合，则（　　） A． B． C． D． 6．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ） A． B． C． D． 7．已知满足，，,则在上的投影为（　　　　） A． B． C． D．2 8．已知当，，时，，则以下判断正确的是 A． B． C． D．与的大小关系不确定 9．若的展开式中的常数项为-12，则实数的值为（ ） A．-2 B．-3 C．2 D．3 10．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B．07 C．02 D．01 11．已知数列对任意的有成立，若，则等于（ ） A． B． C． D． 12．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为________. 14．已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是_______. 15．在中，角的平分线交于，，，则面积的最大值为__________． 16．在长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量. 18．（12分）已知函数． (Ⅰ)求函数的极值； (Ⅱ)若,且,求证：． 19．（12分）已知函数的最小正周期是，且当时，取得最大值． （1）求的解析式； （2）作出在上的图象（要列表）． 20．（12分）已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点. （I）求与的关系式； （II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率. 21．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示： 等级 不合格 合格 得分 频数 6 24 （Ⅰ）若测试的同学中，分数段内女生的人数分别为，完成列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与安全意识有关？ 是否合格 性别 不合格 合格 总计 男生 女生 总计 （Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行座谈，现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）某评估机构以指标（，其中表示的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？ 附表及公式：，其中. 22．（10分）已知数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的满足关系式. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的通项公式是，前n项和为，求证：对于任意的正数n，总有. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出. 详解：由题设有，故，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题. 2、B 【答案解析】 根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值. 【题目详解】 因为终边上有一点，所以， 故选：B 【答案点睛】 此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目. 3、B 【答案解析】 ∵，, ∴ ①若为钝角，则，由余弦定理得， 解得； ②若为锐角，则，同理得. 故选B. 4、A 【答案解析】 化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【题目详解】 由题意，复数z满足，可得， 所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 5、D 【答案解析】 可求出集合，，然后进行并集的运算即可． 【题目详解】 解：，； ． 故选． 【答案点睛】 考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算． 6、B 【答案解析】 根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【题目详解】 正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为，故选B. 【答案点睛】 本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 7、A 【答案解析】 根据向量投影的定义，即可求解. 【题目详解】 在上的投影为. 故选:A 【答案点睛】 本题考查向量的投影，属于基础题. 8、C 【答案解析】 由函数的增减性及导数的应用得：设，求得可得为增函数，又，，时，根据条件得，即可得结果． 【题目详解】 解：设， 则， 即为增函数， 又，，，， 即， 所以， 所以． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题． 9、C 【答案解析】 先研究的展开式的通项，再分中，取和两种情况求解. 【题目详解】 因为的展开式的通项为， 所以的展开式中的常数项为：， 解得， 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10、D 【答案解析】 从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D. 考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 11、B 【答案解析】 观察已知条件，对进行化简，运用累加法和裂项法求出结果. 【题目详解】 已知，则，所以有， ， ， ，两边同时相加得，又因为，所以. 故选： 【答案点睛】 本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解. 12、A 【答案解析】 根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解. 【题目详解】 ∵， 集合， ∴由交集运算可得. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值． 【题目详解】 解：设点，，其中， ， 由，，， 可设 ， 导数为， 由，可得 ， 可得或， 由 ，， 可得，即，可得， 由可得函数递减；由，可得函数递增， 可得时，函数取得最小值，且为， 则的最小值为1． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题． 14、 【答案解析】 由题意可在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围. 【题目详解】 已知定义在上的函数 若在定义域上有四个不同的解 等价于关于原点对称的函数与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点， 联立可得有两个解，即 可设，则， 进而且不恒为零，可得在单调递增. 由可得 时，单调递减； 时，单调递增， 即在处取得极小值且为 作出的图象，可得时，有两个解. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题. 15、15 【答案解析】 由角平分线定理得,利用余弦定理和三角形面积公式，借助三角恒等变化求出面积的最大值. 【题目详解】 画出图形： 因为，，由角平分线定理得, 设，则 由余弦定理得： 即 当且仅当，即时取等号 所以面积的最大值为15 故答案为：15 【答案点睛】 此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属于一般性题目. 16、 【答案解析】 利用等体积法求解点到平面的距离 【题目详解】 由题在长方体中，， ， 所以，所以， 设点到平面的距离为 ，解得 故答案为： 【答案点睛】 此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、特征值为1，特征向量为． 【答案解析】 设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M，然后利用可求特征值的另一个特征向量. 【题目详解】 设矩阵M＝，则AM＝， 所以，解得，所以M＝， 则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1， 设特征值的特征向量为，则， 即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为． 【答案点睛】 本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养. 18、 (Ⅰ)极大值为：，无极小值；(Ⅱ)见解析. 【答案解析】 (Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数的极值；(Ⅱ)得到,根据函数的单调性问题转化为证明，即证,令，根据函数的单调性证明即可． 【题目详解】 (Ⅰ)