北京市2023年中考数学真题模拟题汇编专题17图形的变化之解答题含解析.doc

专题17 图形的变化之解答题（14道题） 一．解答题（共14小题） 1．（2023学年•门头沟区二模）如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD、DE，在AD上取点F，使得∠EFD＝60°，射线EF与AC交于点G． （1）设∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）； （2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明． 【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠BAD＝α， ∴∠FAG＝60°﹣α， ∵∠AFG＝∠EFD＝60°， ∴∠AGE＝180°﹣60°﹣（60°﹣α）＝60°+α； （2）CG＝2BD，理由是： 如图，连接BE，过B作BP∥EG，交AC于P，则∠BPC＝∠EGP， ∵点D关于直线AB的对称点为点E， ∴∠ABE＝∠ABD＝60°， ∵∠C＝60°， ∴∠EBD+∠C＝180°， ∴EB∥GP， ∴四边形EBPG是平行四边形， ∴BE＝PG， ∵∠DFG+∠C＝120°+60°＝180°， ∴∠FGC+∠FDC＝180°， ∴∠ADB＝∠BGP＝∠BPC， ∵AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°， ∴△ABD≌△BCP（AAS）， ∴BD＝PC＝BE＝PG， ∴CG＝2BD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 2．（2023学年•东城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD． （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长． 【答案】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴四边形AEBD是矩形． （2）解：∵四边形AEBD是矩形， ∴∠AEB＝90°， ∵∠ABE＝30°，AE＝2， ∴BE＝2，BC＝4， ∴EC＝2， ∵AE∥BC， ∴△AEF∽△BCF， ∴， ∴EFEC． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2023学年•东城区二模）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE． （1）求证：BD＝CE； （2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点； （3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值． 【答案】证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60° ∴△ADE是等边三角形 ∵△ABC为等边三角形 ∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60° ∴∠DAB＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE ∴△ADB≌△AEC（SAS） ∴BD＝CE （2）如图，过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G， ∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60° ∴∠BDG＝30° ∵CG∥BP ∴∠G＝∠BDG＝30°， ∵△ADB≌△AEC ∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90° ∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30° ∴∠G＝∠GEC＝30° ∴GC＝CE， ∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC ∴△BFD≌△CFG（AAS） ∴BF＝FC ∴点F是BC中点 （3）如图，连接AF， ∵△ABC是等边三角形，BF＝FC ∴AF⊥BC ∴∠AFC＝90° ∴∠AFC＝∠AEC＝90° ∴点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上， ∴EF最大为直径， 即最大值为1 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 4．（2023学年•平谷区二模）在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP＝α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E． （1）依据题意补全图形； （2）当α＝20°时，∠ADC＝　40　°；∠AEC＝　60　°； （3）连接BE，求证：∠AEC＝∠BEC； （4）当0°＜α＜60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明． 【答案】解：（1）如图，补全图形： （2）连接AD， ∵三角形ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， 由对称可知，AD＝AB， ∴AD＝AC， ∵∠BAP＝α＝20°， ∴∠DAB＝40°， ∴∠DAC＝40°+60°＝100°， ∴∠ADC＝∠ACD， ∠AEC＝∠ADC+∠DAE＝40°+20°＝60°， 故答案为40，60； （3）由对称可知，∠BAE＝∠DAE＝α， ∵AD＝AB＝AC， ∴∠ADC， ∠AEC＝60°， ∵∠ACB＝60°，∠ACD＝∠ADC＝60°﹣α， ∴∠BCE＝α， ∵∠ABC＝60°，∠ABE＝∠ADC＝60°﹣α， ∴∠BEC＝60°， ∴∠AEC＝∠BEC； （4）当0°＜α＜60°时，CD＝2DE+AE， 证明：在CD上截取BG＝BE， ∵∠BEC＝60°， ∴△BGE是等边三角形， ∴∠BGC＝∠AED＝120°， ∵∠BCE＝∠DAE＝α， ∴△BCG≌△DAE（AAS）， ∴AE＝CG， ∵EG＝BE＝DE， ∴CD＝2DE+CG， 即CD＝2DE+AE． 【点睛】本题考查了轴对称，熟练运用等边三角形的性质是解题的关键． 5．（2023学年•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE． ①求证：∠AED＝∠CED； ②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）； （2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明． 【答案】证明：（1） ①∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD， ∴AC＝AD，∠DAC＝60° ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，且AB＝AC＝AD ∴∠3＝∠5＝15° ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC ∴∠1＝∠2＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45° 又∵AE＝AE， ∴△ABE≌△ACE（SAS） ∴∠3＝∠4＝15° ∴∠6＝∠7＝30° ∴∠DEC＝∠6+∠7＝60° ∵∠AED＝∠3+∠1＝60° ∴∠AED＝∠CED ②BD＝2CE+AE 理由如下： 过点A作AH⊥BD于点H， ∵∠EBC＝∠ECB ∴BE＝CE， ∵∠AED＝60°，AH⊥BD ∴AE＝2EH ∵AB＝AD，AH⊥BD ∴BD＝2BH＝2（BE+EH）＝2BE+AE＝2EC+AE （2）补全图形如图， 2CE﹣AE＝BD 理由如下： 如图2，以A为顶点，AE为一边作∠EAF＝60°，AF交DB延长线于点F． ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC ∴∠BAE＝∠CAE＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°． ∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD， ∴AC＝AD，∠DAC＝60° ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝15°，AB＝AD ∴∠ABD＝∠ADB，∠BAD＝30° ∴∠ABD＝∠ADB＝75° ∴∠AED＝∠ADB﹣∠DAE＝60° ∵∠EAF＝60° 又∵∠EAF＝60°， ∴∠F＝60° ∴△AEF是等边三角形． ∴AE＝AF＝EF． ∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAF＝45°，AE＝AF， ∴△CAE≌△DAF（SAS）． ∴CE＝DF． ∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE＝45°，AE＝AE， ∴△BAE≌△CAE（SAS）． ∴BE＝CE． ∴BE＝CE． ∵DF+BE﹣EF＝BD， ∴2CE﹣AE＝BD 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 6．（2023学年•石景山区二模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G． （1）求证：AF＝BE； （2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明． 【答案】解：（1）如图，连接CF． ∵，∠ACB＝90°，CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝45°， ∵点E、F关于直线BC对称， ∴CE＝CF， ∠FCB＝∠BCE＝45°， ∴∠FCA＝45°， 在△FCA与△ECB中， ∴△FCA≌△ECB（SAS）， ∴AF＝BE； （2）FG，EG与CE的数量关系：GE2+GF2＝2CE2， 证明：∵△FCA≌△ECB， ∴∠AFC＝∠BEC， ∵∠AFC+∠CFG＝180°， ∴∠CFG+∠CEG＝180°， ∴∠ECF+∠EGF＝180°， ∵∠ECF＝45°+45°＝90°， ∴∠EGF＝90°， 连接EF， ∴GE2+GF2＝EF2， ∵CE＝CF， ∴CE2+CF2＝2CE2＝EF2， ∴GE2+GF2＝2CE2． 【点睛】本题考查了轴对称的性质与等腰直角三角形的性质，熟练运用勾股定理、三角形全等的判定与性质是解题的关键． 7．（2023学年•朝阳区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，将线段BC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段BD，且AD∥BC． （1）依题意补全图形； （2）求满足条件的α的值； （3）若AB＝2，求AD的长． 【答案】解：（1）满足条件的点D和D′如图所示． （2）作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E．则四边形AFED是矩形． ∴AF＝DE，∠DEB＝90°， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AF⊥BC， ∴BF＝CF， ∴AFBC， ∵BC＝BD，AF＝DE， ∴DEBD， ∴∠DBE＝30°， ∴∠D′BC＝120°+30°＝150°， ∴满足条件的α的值为30°或150°． （3）由题意AB＝AC＝2， ∴BC＝2， ∴AF＝BF＝DE， ∴BEDE， ∴AD，AD′＝2（）． 【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．，属于中考常考题型． 8．（2023学年•石景山区一模）如图，在等边△ABC中，D为边AC的延长线上一点（CD＜AC），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G． （1）依题意补全图形； （2）求证：AG＝CD； （3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明． 【答案】解：（1）补全的图形如图1所示． （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝CA．∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°． 由平移可知ED∥BC，ED＝BC． ∴∠ADE＝∠ACB＝60°． ∵∠GMD＝90°