北京市2023年中考数学真题模拟题汇编专题14图形的性质之解答题含解析.doc

专题14 图形的性质之解答题（3）（45道题） 一．解答题（共45小题） 1．（2023学年•顺义区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点P在AB的延长线上，且∠A＝∠P＝30． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）连接BC，若AB＝4，求△PBC的面积． 【答案】（1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠A， 又∵∠A＝∠P＝30°， ∴∠1＝30°，∠ACP＝120°， ∴∠OCP＝90°， ∴PC是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝4， ∴OA＝OB＝OC＝2， ∵∠OCP＝90°，∠P＝30°， ∴OP＝4，PC＝2， ∴BP＝OB， ∴， ∵S△OPC． ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 2．（2023学年•海淀区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF． （1）求证：四边形CDEF为菱形； （2）连接DF交AC于点G，若DF＝2，CD，求AD的长． 【答案】证明：（1）∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点， ∴EFAB，EF∥AB，CFBC，AE＝CE ∵AB∥CD ∴AB∥CD∥EF， ∵AB＝BC＝2CD ∴EF＝CF＝CD，且AB∥CD∥EF， ∴四边形DEFC是平行四边形，且EF＝CF ∴四边形CDEF为菱形； （2）如图，设DF与EC交于点G ∵四边形CDEF为菱形，DF＝2， ∴DG＝1，DF⊥CE，EG＝GC， ∴EG＝GC ∴AE＝CE＝2EG ∴AG＝AE+CG＝4 ∴AD 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 3．（2023学年•顺义区一模）已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ECD＝∠DBA，∠CED＝90°，AF⊥BD于点F． （1）求证：四边形BCEF是平行四边形； （2）若AB＝4，AD＝3，求EC的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，DC＝AB，DC∥AB， ∴∠CDF＝∠DBA． ∵∠ECD＝∠DBA， ∴∠ECD＝∠CDF， ∴EC∥BF， ∵AF⊥BD于点F，∠CED＝90°， ∴∠BFA＝∠CED＝90°． 又∵∠ECD＝∠DBA， ∴∠CDF＝∠ECD， 在△ECD和△FBA中，， ∴△ECD≌△FBA（AAS）， ∴EC＝BF， 又∵EC∥BF， ∴四边形BCEF是平行四边形； （2）解：∵AB＝4，AD＝3， ∴BD5， ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝90°＝∠BAD， ∵∠ABF＝∠ABD， △DAB∽△AFB， ∴，即， ∴， ∴EC＝BF． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 4．（2023学年•东城区一模）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P． 求作：直线PE，使得PE∥BC． 作法：如图2． ①在直线BC上取一点A，连接PA； ②作∠PAC的平分线AD； ③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E； ④作直线PE． 所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵AD平分∠PAC， ∴∠PAD＝∠CAD． ∵PA＝PE， ∴∠PAD＝　∠PEA　， ∴∠PEA＝　∠CAD　， ∴PE∥BC．（　内错角相等两直线平行　）（填推理依据）． 【答案】解：（1）如图所示：直线PE即为所求． （2）证明：∵AD平分∠PAC， ∴∠PAD＝∠CAD． ∵PA＝PE， ∴∠PAD＝∠PEA， ∴∠PEA＝∠CAD， ∴PE∥BC．（内错角相等两直线平行）． 故答案为：∠PEA，∠CAD，内错角相等两直线平行． 【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义． 5．（2023学年•顺义区一模）下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ⊥l． 作法：如图， ①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B； ②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q； ③作直线PQ． 所以直线PQ为所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接PA，PB，QA，QB． ∵PA＝PB＝QA＝QB， ∴四边形APBQ是菱形　四边相等的四边形是菱形　（填推理的依据）． ∴PQ⊥AB　菱形的对角线互相垂直　（填推理的依据）． 即PQ⊥l． 【答案】解：（1）如图所示． （2）证明：连接PA，PB，QA，QB． ∵PA＝PB＝QA＝QB， ∴四边形APBQ是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）． ∴PQ⊥AB（菱形的对角线互相垂直）（填推理的依据）． 即PQ⊥l． 故答案为：四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6．（2023学年•东城区一模）如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC． （1）求证：OC⊥OB； （2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长． 【答案】（1）证明：∵AB＝BP， ∴∠BAP＝∠BPA， ∵AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥BA， ∴∠BAO＝90°，即∠BAP+∠PAO＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠PAO＝∠C， ∵∠BPA＝∠CPO， ∴∠C+∠CPO＝90°， ∴∠COP＝90°， 即CO⊥BO； （2）解：如图，作BD⊥AP于点D， 在Rt△ABO中，AB＝3，OA＝4， 则BO＝5，OP＝2， 在Rt△CPO中，PO＝2，CO＝4， 则CP＝2， ∵BA＝BP， ∴AD＝PD， 由（1）知∠COP＝90°， ∵∠BDP＝90°，∠BPD＝∠CPO， ∴△BPD∽△CPO， ∴，即， ∴PD， ∴AP＝2PD． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 7．（2023学年•海淀区一模）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使PQ∥l． 作法：如图2， ①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A、B两点； ②连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q； ③作直线PQ； 所有直线PQ就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． （2）完成下面的证明： 证明：连接PB、QB． ∵PA＝QB， ∴　　． ∴∠PBA＝∠QPB（　等弧所对圆周角相等　）（填推理的依据）． ∴PQ∥l（　内错角相等，两直线平行　）（填推理的依据）． 【答案】解：（1）如图所示： （2）证明：连接PB、QB． ∵PA＝QB， ∴． ∴∠PBA＝∠QPB（等弧所对圆周角相等）． ∴PQ∥l（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，等弧所对圆周角相等，内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行线的判定． 8．（2023学年•海淀区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在⊙O的切线CM上取一点P，使得∠CPB＝∠COA． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若AB＝4，CD＝6，求PB的长． 【答案】（1）证明：∵PC是⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∴∠OCP＝90°， ∵∠AOC＝∠CPB，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠BOC+∠CPB＝180°， ∵∠PBO＝360°﹣∠CPB﹣∠BOC﹣∠PCO＝90°， ∴OB⊥PB， ∴PB是⊙O的切线； （2）连接OP， ∵AB是⊙O的直径，AB＝4， ∴OC＝OBAB＝2， ∵CD⊥AB，CD＝6， ∴CECD＝3， ∵sin∠COE， ∴∠COE＝60°， ∵PB，PC是⊙O的切线， ∴∠CPO＝∠BPO，∠OCP＝∠OBP， ∴∠COP＝∠BOP＝60°， ∴PB＝OB•tan60°＝6， 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 9．（2023学年•海淀区一模）如图1，线段AB及一定点C、P是线段AB上一动点，作直线CP，过点A作AQ⊥CP于点Q，已知AB＝7cm，设A、P两点间的距离为xcm，A、Q两点间的距离为y1cm，P、Q两点间的距离为y2cm． 小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值． x/cm 0 0.3 0.5 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 7 y1/cm 0 0.28 0.49 0.79 1 1.48 1.87 2.37 2.61 2.72 2.76 2.78 y2/cm 0 0.08 0.09 0.06 0 0.29 0.73 1.82 　3.02　 4.20 5.33 6.41 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当△APQ中有一个角为30°时，AP的长度约为　5.49或2.50　cm． 【答案】解：（1）∵过点A作AQ⊥CP于点Q，设A、P两点间的距离为xcm，A、Q两点间的距离为y1cm，P、Q两点间的距离为y2cm． ∴， ∴当x＝4，y1＝2.61， ∴， 故答案为：3.02； （2）利用描点法画出函数图象如图所示：． （3）当△APQ中有一个角为30°时，x＝2y1，， ∴x＝5.49或2.50； 故答案为：5.49或2.50． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的有关知识，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． 10．（2023学年•海淀区一模）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（CA＞2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F． （1）依题意补全图形； （2）若∠ACE＝α，求∠ABD的大小（用含α的式子表示）； （3）若点G在线段CF上，CG＝BD，连接DG． ①判断DG与BC的位置关系并证明； ②用等式表示DG、CG、AB之间的数量关系为　2CG2＝DG2+AB2　． 【答案】解：（1）补全图形，如图所示： （2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∵∠ACE＝α， ∴∠ECB＝45°+