2023年宁夏高考数学二轮复习圆锥曲线中与焦点有关的一类最值问题新人教A版.docx

圆锥曲线中与焦点有关的一类最值问题 我们知道，圆锥曲线一章是高考考查的重要内容之一，而圆锥曲线中的最值问题更是无处不在。在很多教学参考书中，我们都会见到这样的类似问题： 椭圆C的方程为，F1、F2是它的左右两个焦点，点A的坐标为(3,1)，试在椭圆上求一点P，(1)使得|PA|+|PF2|最小；(2)使得|PA|+2|PF2|最小，并求出相应的最小值。（亦可把椭圆改为双曲线或抛物线，同样有类似的问题） 类似于这样的问题，初学者往往很难作答，即使在老师的讲解和点拨下也不易掌握。根底好的同学还可以理解，一般的同学下次再遇到类似的问题时仍然难以做对，还会出现很多不应有的错误。这里笔者想能过一个实例，给出这种问题的一般解题策略和具体处理方法。 关于|PA|+|PF2|最小值的问题，同学们不应该感到陌生。在初中我们曾求过这样的问题：如图，A、B两点在直线L的同侧，试在L上求作一点P，使得|PA|+|PB|最小。（相对应的还有一个应用题：A、B两个小村庄，L是一条河，今要在河上架设一座大桥，使从A、B两村庄铺设到大桥的公路总长最短，应该如何选址？） B A L PO B/ 我们知道两点之间的连线中，线段最短，所以|PA|+|PB|≥|AB| 显然等号不成立，因为A、B在直线L的同侧，如果A、B两点 在L的异侧就好了，因为A、B假设在L异侧，线段AB 就与L相交，交点即为所求作的P点。所以能不能在L 的另一侧找到一点B/，使得|PB/|总是等于|PB|呢？ 求作点B（或者A）关于直线L的对称点B/即可。 B/ A L QO B QO 转化思想就是我们解决问题的根本策略。我们只要将同侧的两点转化为异侧的两点，问题就得以解决。 比方：请在L上再找一点Q，使得|QA|-|QB|最大？同样道理， |QA|-|QB|总是小于|AB|，如能等于|AB|就行。我们还是转化， 异侧两点同侧化，当Q为AB/的延长线与L的交点Q/时， |QA|-|QB|=|QA|-|QB/|≤|AB/|。（这里B关于L的对称点B/与 A的连线要与L相交才行，否那么Q/点不存在） 我们总结得到：同侧和最小异侧化，异侧差最大同侧化。 根据以上分析，我们可以用类比的方法解决圆锥曲线中的类似问题。能不能将椭圆C内部（同侧）的两点A或者F2转化为一内一外呢？显然无法作出点A（或者F2）关于曲线(椭圆)的对称点（没听说过），使得|PA|总是等于|PA/|。 A · F2 F1 · · P x y o N M 如图，|PA|+|PF2|总是大于|AF2|，但|PA|-|PF2|还是能够 等于|AF2|，作直线AF2，与椭圆交于M、N两点， 当P运动到图中的N点时，|PA|-|PF2|=|AF2|， 当P运动到图中的M点时，|PA|-|PF2|= -|AF2| 能不能将|PA|+|PF2|转化为|PA|-|PF2|呢？ 所以我们给出解决圆锥曲线问题的另一解题策略：回归定义。椭圆的第一定义是：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹。我们不能将点A（或点F2）转移到椭圆外，但我们可以将P到F2的距离转化为点P到另一焦点F1的距离。因为|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a-|PF1|，于是|PA|+|PF2|=|PA|+(2a-|PF1|)=(|PA|-|PF1|)+2a A · F2 F1 · · P x y o R S 要求|PA|+|PF2|的最值，就等价于求|PA|-|PF1|的最值。 如图作直线AF1交椭圆于R、S两点， 那么 -|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1| 所以2a-|AF1|≤|PA|+|PF2|≤2a+|AF1| 将具体数据代入即可求得本文开始时提出的(1)的解答。 那么对于(2)又如何解答呢？与(1)相比，就是在|PF2|前 多了个系数2，也只能是2（否那么无解），我们可以用圆锥曲线的统一定义，将同侧（内部）问题转化为异侧问题来求解。 A · F2 F1 · · P x y o M l 椭圆的第二定义是：平面内到一定点F2的距离与到一定直线l的距离之比为小于1的常数的点的轨迹就叫做椭圆。其中定点为焦点，定直线为此焦点相应的准线，小于1的常数就是椭圆的离心率e。 如图，PM⊥l于M，那么，所以|PM|=|PF2| 此题中，椭圆的离心率e=，所以|PM|=2|PF2| 所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，于是我们将问题转化为从定点A到准线l的“折线段〞PA与PM的长的和的问题，也就是说将同侧（内部）两点的距离和问题转化成了异侧一点一线距离和的问题。显然当A、P、M三点共线且垂直于直线l时，|PA|+|PM最小，即直接过A作准线l的垂直交椭圆于P点，那么P即为所求作。 这种转化看来只适用于形如|PA|+|PF2|的最小值的问题。 以上我们给出了解决圆锥曲线中这两种最值的解题策略和具体做法，即利用圆锥曲线的定义实现了问题的转化，即同异互化，回归定义。 本文开头的问题具体解答如下： A · F2 F1 · · P x y o R S (1) 由椭圆方程得：a=4,b=2,所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0) 因为P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF2|=8-|PF1| 所以|PA|+|PF2|=|PA|+8-|PF1|=|PA|-|PF1|+8 过A、F1作直线RS交椭圆于R、S两点， 因为||PA|-|PF1||≤|AF1|=， A · F2 F1 · · P x y o M l 所以8-≤|PA|+|PF2|≤8+ 当P为S点时，|PA|+|PF2|的最小值为8- 当P为R点时，|PA|+|PF2|的最大值为8+ (2)易求得椭圆的离心率为e=，右准线l方程为x=8 过P作l的垂线交l于M点，那么|PM|=|PF2|=2|PF2|,所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|， 当A、P、M三点共线且垂直于l时，|PA|+|PM|最小，且最小值就是点A到直线l的距离。易求得A到直线的距离为5，所以|PA|+2|PF2|的最小值为5，此时点P的纵坐标为1，将y=1代入椭圆方程得x=,所以点P的坐标为(,1). 下面我们给出几个题目供同学们练习稳固： 1．两点A(4,1)和B(-1,11)， （1）试在x轴上求一点P，使得|PA|+|PB|最小。 （2）试在y轴上求一点Q，使得|PA|-|PB|最大。 2．A(3,1)，双曲线C的方程为，F1、F2是它的左右两个焦点，试在双曲线C上求一点P，(1)使得|PA|+|PF2|最小；(2)使得|PA|+|PF2|最小. 3．A(4,1)，F为抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上任一点，求|PA|+|PF|最小值。