2023届四川成都经开区实验中学高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ） A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著 B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关 C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上 D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列 2．设复数满足为虚数单位)，则（ ） A． B． C． D． 3．在中，，分别为，的中点，为上的任一点，实数，满足，设、、、的面积分别为、、、，记（），则取到最大值时，的值为（ ） A．－1 B．1 C． D． 4．已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，这个数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫阶幻方．定义为阶幻方对角线上所有数的和，如，则（ ） A．55 B．500 C．505 D．5050 6．函数图像可能是（ ） A． B． C． D． 7．已知i为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 8．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 9．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（ ） A． B．3 C． D． 10．函数在的图象大致为( ) A． B． C． D． 11．把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A． B． C． D． 12．复数的（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知为椭圆上的一个动点，，，设直线和分别与直线交于，两点，若与的面积相等，则线段的长为______. 14．函数在的零点个数为________． 15．已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 16．已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，且，求的值. 18．（12分）已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点. （Ⅰ）求点的轨迹的方程； （Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，点的坐标为，直线与轴分别交于两点，求证：线段的中点为定点，并求出面积的最大值. 19．（12分）已知函数(). （1）讨论的单调性； （2）若对，恒成立，求的取值范围. 20．（12分）设函数. （1）时，求的单调区间； （2）当时，设的最小值为，若恒成立，求实数t的取值范围. 21．（12分）已知等差数列和等比数列满足： (I)求数列和的通项公式； (II)求数列的前项和. 22．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：（）的焦点F在直线上，平行于x轴的两条直线，分别交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点. （1）求抛物线C的方程； （2）若F在线段上，P是的中点，证明：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 由折线图逐项分析即可求解 【题目详解】 选项，显然正确； 对于，，选项正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错. 故选：D 【答案点睛】 本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题 2、B 【答案解析】 易得，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【题目详解】 由已知，，所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 3、D 【答案解析】 根据三角形中位线的性质，可得到的距离等于△的边上高的一半，从而得到，由此结合基本不等式求最值，得到当取到最大值时，为的中点，再由平行四边形法则得出，根据平面向量基本定理可求得，从而可求得结果. 【题目详解】 如图所示： 因为是△的中位线， 所以到的距离等于△的边上高的一半， 所以， 由此可得， 当且仅当时，即为的中点时，等号成立， 所以， 由平行四边形法则可得，， 将以上两式相加可得， 所以， 又已知， 根据平面向量基本定理可得， 从而. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题. 4、B 【答案解析】 先利用向量数量积和三角恒等变换求出 ，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，，再建立不等式求出的范围，进而求得的范围. 【题目详解】 解： 令，解得对称轴，， 又函数在区间恰有个极值点，只需 解得． 故选：． 【答案点睛】 本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题. (1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或 的形式; (2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围. 5、C 【答案解析】 因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得，即得解. 【题目详解】 因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等， 所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和， 又阶幻方有行（或列）， 因此，， 于是． 故选：C 【答案点睛】 本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 6、D 【答案解析】 先判断函数的奇偶性可排除选项A,C，当时，可分析函数值为正，即可判断选项. 【题目详解】 , , 即函数为偶函数， 故排除选项A,C， 当正数越来越小，趋近于0时，， 所以函数，故排除选项B, 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题. 7、A 【答案解析】 根据复数乘除运算法则，即可求解. 【题目详解】 . 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数代数运算，属于基础题题. 8、C 【答案解析】 由题可知，设函数，，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围. 【题目详解】 设函数，， 因为， 所以， 或， 因为 时，， 或时，，，其图象如下： 当时，至多一个整数根； 当时，在内的解集中仅有三个整数，只需， ， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力. 9、D 【答案解析】 建立平面直角坐标系，将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值，利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程，得到，进而得到所求最小值. 【题目详解】 如图，原题等价于在直角坐标系中，点，是第一象限内的动点，满足到轴的距离等于点到点的距离，求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值． 设，则，化简得：， 则，解得：， 即点的轨迹上的点到的距离的最小值是. 故选：. 【答案点睛】 本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值. 10、C 【答案解析】 先根据函数奇偶性排除B，再根据函数极值排除A；结合特殊值即可排除D，即可得解. 【题目详解】 函数， 则，所以为奇函数，排除B选项； 当时，，所以排除A选项； 当时，，排除D选项； 综上可知，C为正确选项， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题. 11、D 【答案解析】 试题分析：把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），可得的图象；再将图象向右平移个单位，可得的图象，那么所得图象的一个对称中心为，故选D. 考点：三角函数的图象与性质. 12、C 【答案解析】 所对应的点为（-1，-2）位于第三象限. 【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先设点坐标，由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系，这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出来，从而可求得点的横坐标，代入椭圆方程得纵坐标，然后可得． 【题目详解】 如图，设，，， 由，得， 由得，∴，解得， 又在椭圆上，∴，， ∴． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查直线与椭圆相交问题，解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系，解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示． 14、 【答案解析】 求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数． 【题目详解】 详解： 由题可知，或 解得,或 故有3个零点． 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题． 15、 【答案解析】，由题意，得, 解得，则的周期为4，且，所以. 考点：三角函数的图像与性质. 16、 【答案解析】 设等比数列的公比为，根据题意求出和的值，进而可求得和的值，利用等比数列求和公式可求得的值. 【题目详解】 由等比数列的性质可得，， 由于与的等差中项为，则，则，， ，，， 因此，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查等比数列求和，解答的关键就是等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【答案解析】 （Ⅰ）直接代入再由诱导公式计算可得； （Ⅱ）先得到，再根据利用两角差的余弦公式计算可得． 【题目详解】 解：（Ⅰ） ； （Ⅱ）因为 所以， 由得， 又因为，故，所以， 所以. 【答案点睛】 本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题． 18、（Ⅰ）；（Ⅱ）4. 【答案解析】 （Ⅰ）先画出图形，结合垂直平分线和平行四边形性质可得为一定值，，故可确定点轨迹为椭圆（），进而求解； （Ⅱ）设直线方程为，点坐标分别为，联立直线与椭圆方程得，，分别由点斜式求得直线KA的方程为，令得，同理得，由结合韦达定理即可求解，而，当重合交于点时，可求最值； 【