2023届四川省双流中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A．432 B．576 C．696 D．960 4．设全集，集合，，则集合（ ） A． B． C． D． 5．将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(>0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则的最小值为( ) A． B． C． D． 6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 7．设为等差数列的前项和，若，则 A． B． C． D． 8．已知P是双曲线渐近线上一点，，是双曲线的左、右焦点，，记，PO，的斜率为，k，，若，-2k，成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数，若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的公差不为零，且，，构成新的等差数列，为的前项和，若存在使得，则（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 11．四人并排坐在连号的四个座位上，其中与不相邻的所有不同的坐法种数是（ ） A．12 B．16 C．20 D．8 12．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为 A．72 B．64 C．48 D．32 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知数列的前项满足，则______. 14．已知定义在的函数满足，且当时，，则的解集为__________________. 15．已知圆，直线与圆交于两点，，若，则弦的长度的最大值为_______. 16．一个村子里一共有个人，其中一个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人又把谣言告诉了第三个人，如此等等．在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余个村民中随机挑选的，当谣言传播次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是_______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，三棱柱的所有棱长均相等，在底面上的投影在棱上，且∥平面 （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值. 18．（12分）在平面直角坐标系中，将曲线（为参数）通过伸缩变换，得到曲线，设直线（为参数)与曲线相交于不同两点，. （1）若，求线段的中点的坐标； （2）设点，若，求直线的斜率. 19．（12分）如图，已知在三棱锥中，平面，分别为的中点，且. （1）求证：； （2）设平面与交于点，求证：为的中点. 20．（12分）已知函数，. （1）当时，求函数的值域； （2），，求实数的取值范围. 21．（12分）已知函数.其中是自然对数的底数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 22．（10分）函数 （1）证明：； （2）若存在，且，使得成立，求取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率. 【题目详解】 解：不妨设过点作的垂线，其方程为， 由解得，，即， 由，所以有， 化简得，所以离心率． 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题． 2、A 【答案解析】 由抛物线的焦点得双曲线的焦点，求出，由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为，由焦半径公式，联立求解. 【题目详解】 解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为， 抛物线的准线过双曲线的左焦点， ． 抛物线的准线被双曲线截得的线段长为， ，又， ， 则双曲线的离心率为． 故选：． 【答案点睛】 本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． 3、B 【答案解析】 先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻. 【题目详解】 首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有种不同排列方式，甲、丁排在一起共有种不同方式； 若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式； 若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式； 根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为种. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题. 4、C 【答案解析】 ∵集合，， ∴ 点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集. 5、B 【答案解析】 首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合， 那么，利用的最小正周期为，从而求得结果. 【题目详解】 的最小正周期为， 那么(∈)， 于是， 于是当时，最小值为， 故选B. 【答案点睛】 该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目. 6、A 【答案解析】 分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 7、C 【答案解析】 根据等差数列的性质可得，即， 所以，故选C． 8、B 【答案解析】 求得双曲线的一条渐近线方程，设出的坐标，由题意求得，运用直线的斜率公式可得，，，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值． 【题目详解】 设双曲线的一条渐近线方程为， 且，由，可得以为圆心，为半径的圆与渐近线交于， 可得，可取，则， 设，，则，，， 由，，成等差数列，可得， 化为，即， 可得， 故选：． 【答案点睛】 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 9、D 【答案解析】 讨论，，三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案. 【题目详解】 当时，，故，函数在上单调递增，在上单调递减，且； 当时，； 当时，，，函数单调递减； 如图所示画出函数图像，则，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力. 10、D 【答案解析】 利用等差数列的通项公式可得，再利用等差数列的前项和公式即可求解. 【题目详解】 由，，构成等差数列可得 即 又 解得： 又 所以时，. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题. 11、A 【答案解析】 先将除A，B以外的两人先排，再将A，B在3个空位置里进行插空，再相乘得答案. 【题目详解】 先将除A，B以外的两人先排，有种；再将A，B在3个空位置里进行插空，有种，所以共有种. 故选：A 【答案点睛】 本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题. 12、B 【答案解析】 由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。 【题目详解】 由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥， 所以几何体的体积为，故选B。 【答案点睛】 本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由已知写出用代替的等式，两式相减后可得结论，同时要注意的求解方法． 【题目详解】 ∵①， ∴时，②， ①－②得， ∴， 又， ∴（）． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查求数列通项公式，由已知条件．类比已知求的解题方法求解． 14、 【答案解析】 由已知得出函数是偶函数，再得出函数的单调性，得出所解不等式的等价的不等式，可得解集. 【题目详解】 因为定义在的函数满足，所以函数是偶函数， 又当时，，得时，，所以函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以不等式等价于，即或， 解得或，所以不等式的解集为：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查抽象函数的不等式的求解，关键得出函数的奇偶性，单调性，属于中档题. 15、 【答案解析】 设为的中点，根据弦长公式，只需最小，在中，根据余弦定理将表示出来，由，得到 ，结合弦长公式得到，求出点的轨迹方程，即可求解. 【题目详解】 设为的中点， 在中，，① 在中，，② ①②得， 即， ，. ，得. 所以，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系、相交弦长的最值，解题的关键求出点的轨迹方程，考查计算求解能力，属于中档题. 16、 【答案解析】 利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解. 【题目详解】 第1次传播，谣言一定不会回到最初的人； 从第2次传播开始，每1次谣言传播，第一个制造谣言的人被选中的概率都是， 没有被选中的概率是． 次传播是相互独立的，故为 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了相互独立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【答案解析】 （Ⅰ）连接交于点，连接，由于平面，得出，根据线线位置关系得出，利用线面垂直的判定和性质得出，结合条件以及面面垂直的判定，即可证出平面平面； （Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出和平面的法向量，利用空间向量线面角公式，即可求出直线与平面所成角的余弦值. 【题目详解】 解：（Ⅰ）证明：连接交于点，连接， 则平面平面， 平面，， 为的中点，为的中点， 平面， ，平面， 平面，平面平面 （Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，设 则，，， ，， 设平面的法向量为，则， 取得， 设直线与平面所成角为 ， 直线与平面所成角的余弦值为. 【答案点睛】 本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量法求线面角的余弦值，考查空间想象能力和推理