北京市2023年中考数学真题模拟题汇编专题13图形的性质之解答题2含解析.doc

专题13 图形的性质之解答题（2）（50道题） 一．解答题（共50小题） 1．（2023学年•怀柔区二模）如图，E为AB中点，CE⊥AB于点E，AD＝5，CD＝4，BC＝3，求证：∠ACD＝90°． 【答案】证明：∵E为AB中点，CE⊥AB于点E， ∴AC＝BC， ∵BC＝3，∴AC＝3， 又∵AD＝5，CD＝4， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 2．（2023学年•西城区二模）如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程． 已知：平行四边形ABCD． 求作：点M，使点M为边AD的中点． 作法：如图， ①作射线BA； ②以点A为圆心，CD长为半径画弧， 交BA的延长线于点E； ③连接EC交AD于点M． 所以点M就是所求作的点． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AC，ED． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥CD． ∵AE＝　CD　， ∴四边形EACD是平行四边形（　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　）（填推理的依据）． ∴AM＝MD（　全等三角形的对应边相等　）（填推理的依据）． ∴点M为所求作的边AD的中点． 【答案】解：（1）点M如图所示． （2）连接AC，ED． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥CD． ∵AE＝CD， ∴四边形EACD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）． ∴AM＝MD（全等三角形的对应边相等）（填推理的依据）． ∴点M为所求作的边AD的中点． 故答案为：CD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形的对应边相等， 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确应用全等三角形性质解决问题． 3．（2023学年•怀柔区二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，交BC于点E，作EF∥AB，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接CF，CF＝EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若BF＝4，tan∠FBC，求EC的长． 【答案】（1）证明：∵EF∥AB，AD∥BC ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AD∥BC，AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠AEB．∠DAE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：作FH⊥BC于H，如图所示： ∵四边形ABEF是菱形，BF＝4， ∴∠BPE＝90°，PB＝PF＝2， ∵tan∠FBC， ∴PE， ∴BE5， 在Rt△BFH中，∵tan∠FBC， ∴， ∵BF＝4． ∴FH＝4，BH＝8． ∴EH＝3． ∵CF＝EF， ∴EC＝2EH＝6． 【点睛】本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练运用菱形的性质和判定． 4．（2023学年•门头沟区二模）如图，在▱ABCD中，点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使得∠AFC＝DEC，连接CF，DE． （1）求证：四边形DECF是平行四边形； （2）如果AB＝13，DF＝14，tan∠DCB，求CF的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵∠AFC＝∠DEC， ∴∠AFC＝∠ADE， ∴DE∥CF， ∵AD∥BC， ∴DF∥CE， ∴四边形DECF是平行四边形； （2）解：如图，过D作DM⊥EC于M，则∠DMC＝∠DME＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB＝13，∠DCB＝∠CDF， ∵tan∠CDF， ∴tan∠DCB， 设DM＝12x，则CM＝5x， 由勾股定理得：（12x）2+（5x）2＝132， 解得：x＝1， 即CM＝5，DM＝12， ∵CE＝14， ∴EM＝14﹣5＝9， 在Rt△DME中，由勾股定理得：DE15， ∵四边形DECF是平行四边形， ∴CF＝DE＝15． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形的应用，能灵活运用性质进行推理和计算是解此题的关键． 5．（2023学年•怀柔区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D＝30°． （1）求证：FD是⊙O的切线； （2）取BE的中点M，连接MF，若MF，求⊙O的半径． 【答案】解：（1）连接OE，OF，如图， ∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径， ∴∠DOF＝∠DOE． ∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°， ∴∠DOF＝60°， ∵∠D＝30°， ∴∠OFD＝90°． ∴OF⊥FD． ∴FD为⊙O的切线； （2）连接OM． ∵AB为⊙O的直径， ∴O为AB中点，∠AEB＝90°． ∵M为BE的中点， ∴OM∥AE，， ∵∠A＝30°， ∴∠MOB＝∠A＝30°． ∵∠DOF＝2∠A＝60°， ∴∠MOF＝90°， ∴OM2+OF2＝MF2． 设⊙O的半径为r． ∵∠AEB＝90°，∠A＝30°， ∴． ∴， ∵， ∴． 解得r＝2．（舍去负根）， ∴⊙O的半径为2． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和垂径定理． 6．（2023学年•西城区二模）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接DE，DF，EF．FH平分∠EFB交BD于点H． （1）求证：DE⊥DF； （2）求证：DH＝DF： （3）过点H作HM⊥EF于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：如图1中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠EAD＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴∠EAD＝∠DCF＝90°， ∵CF＝AE， ∴△AED≌△CFD（SAS）， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°， ∴DE⊥DF． （2）证明：∵△AED≌△CFD， ∴DE＝DF， ∵∠EDF＝90°， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， ∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC， ∴∠DBF＝45°， ∵FH平分∠BFE， ∴∠HFB＝∠HFE， ∴∠DHF＝∠HFB+∠DBC＝∠HFB+45°，∠DFH＝∠HFE+∠DFE＝∠HFE+45°， ∴∠DHF＝∠DFH， ∴DH＝DF． （3）解：结论：EF＝2AB﹣2HM 理由：如图2中，作HM⊥EF于M，HN⊥BC于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴BDAB， ∵FH平分∠BFE，HM⊥EF，HN⊥BF， ∴HM＝HN， ∵∠HBN＝45°，∠HNB＝90°， ∴BHHNHM， ∴DH＝BD﹣BHABHM， ∵EFDFDH， ∴EF＝2AB﹣2HM． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 7．（2023学年•门头沟区二模）对于平面直角坐标系xOy中的动点P和图形N，给出如下定义：如果Q为图形N上一个动点，P，Q两点间距离的最大值为dmax，P，Q两点间距离的最小值为dmin，我们把dmax+dmin的值叫点P和图形N间的“和距离”，记作d（P，图形N）． （1）如图1，正方形ABCD的中心为点O，A（3，3）． ①点O到线段AB的“和距离”d（O，线段AB）＝　3+3　； ②设该正方形与y轴交于点E和F，点P在线段EF上，d（P，正方形ABCD）＝7，求点P的坐标． （2）如图2，在（1）的条件下，过C，D两点作射线CD，连接AC，点M是射线CD上的一个动点，如果6d（M，线段AC）＜6+3，直接写出M点横坐标t取值范围． 【答案】解：（1）①如图1，连接OA， ∵四边形ABCD是正方形，且A（3，3）， ∴dmax+dmin＝OE+OA＝3+3，即d（O，线段AB）＝3+3， 故答案为：3+3； ②设P（0，y）， ∵d（P，正方形ABCD）＝7， ∴dmax+dmin＝7， 分两种情况： ∵E（0，3），F（0，﹣3），且P是线段EF上一个动点， i）当P在x轴上方时，如图2，连接PC， ∴dmax+dmin＝PE+PC＝7， 3﹣y7， 解得：y＝1， 经检验，y＝1是原方程的解， ∴P（0，1）， ii）当P在x轴的下方时，同理可得P（0，﹣1）； 综上，点P的坐标为（0，1）或（0，﹣1）； （2）分两种情况： ①当﹣3≤t＜3时，如图3，M在线段CD上，过M作MN⊥AC于N，连接AM， ∵M点横坐标是t， ∴CM＝t+3， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45°， ∴△CMN是等腰直角三角形， ∴MN（t+3）， ∴d（M，线段AC）＝MN+MA（t+3）， ②当t≥3时，如图4，M在线段CD的延长线上，过M作MN⊥AC于N， 同理MN（t+3）， ∴d（M，线段AC）＝MN+CM（t+3）+t+3， ∵在动点M从C到D方向上运动时，MN+MA越来越大， ∴（t+3）6，解得：t＝﹣3， （t+3）+t+3＝6+3，解得：t＝3， ∴M点横坐标t取值范围是﹣3＜t＜3． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是理解并掌握“和距离”的定义与点到直线的距离，有难度，并注意运用数形结合的思想和分类讨论思想的运用． 8．（2023学年•丰台区二模）如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，连接DA、DF，且AD＝2DF，过点B作AD的平行线交FD的延长线于点E． （1）求证：四边形ABED为菱形； （2）若BD＝6，∠E＝60°，求四边形ABEF的面积． 【答案】（1）证明：在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DFAB， ∵BE∥AD， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵AD＝2DF， ∴AD＝AB， ∴四边形ABED为菱形； （2）解：过B作BG⊥EF于G， ∵四边形ABED为菱形， ∴AB＝BE＝DE＝BD＝6， ∴DF＝3，EF＝9， ∵∠E＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∵BG⊥EF， ∴DGDE＝3， ∴BGDG＝3， ∴四边形ABEF的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、梯形面积公式、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 9．（2023学年•丰台区二模）如图，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为D，连接BD，过点B作射线PD的垂线，垂足为C． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）如果AB＝6，sin∠CBD，求PD的长． 【答案】解：（1）证明：连接OD，如图1， ∵PD是⊙O的切线， ∴OD⊥PC， ∵BC⊥PC， ∴OD∥BC， ∴∠ODB＝∠CBD， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠CBD＝∠OBD， 即BD平分∠ABC； （2）连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝