2023届四川省青神中学高三第四次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点，间的距离为2，动点与，的距离之比为，当，，不共线时，的面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 4．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ） A．月收入的极差为60 B．7月份的利润最大 C．这12个月利润的中位数与众数均为30 D．这一年的总利润超过400万元 5．已知为实数集，，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知复数，则的虚部为（ ） A．－1 B． C．1 D． 7．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数( ) A．3 B． C． D． 8．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（ ） A． B．3 C． D．1 9．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 10．设为非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．已知某口袋中有3个白球和个黑球（），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是．若，则= ( ) A． B．1 C． D．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中，则的值是______. 14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________． 15．如图,已知，，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最小值是_____． 16．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有_________种. (用数字作答) 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，(其中，). （1）求函数的最小值. （2）若，求证：. 18．（12分）已知直线：（为参数），曲线（为参数）． （1）设与相交于，两点，求； （2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值． 19．（12分）已知椭圆，上、下顶点分别是、，上、下焦点分别是、，焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若为椭圆上异于、的动点，过作与轴平行的直线，直线与交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值，说明理由. 20．（12分）已知抛物线的焦点为，直线交于两点（异于坐标原点O）. （1）若直线过点,，求的方程； （2）当时，判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由. 21．（12分）已知与有两个不同的交点，其横坐标分别为（）. （1）求实数的取值范围； （2）求证：. 22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 试题分析：由题意得，， ∴，， ∵，∴，∴， ∴若：，，∴， 若：，，∴， 若：，，∴， 综上可知，同理可知，故选A. 考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想. 【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上. 2、D 【答案解析】 先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到，利用二次函数的性质可求，从而可得的取值范围. 【题目详解】 由题设有，故，故椭圆， 因为点为上的任意一点，故. 又， 因为，故， 所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的左、右焦点分别是，点为上的任意一点，则有，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题. 3、A 【答案解析】 根据平面内两定点，间的距离为2，动点与，的距离之比为，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解. 【题目详解】 如图所示： 设，，，则， 化简得， 当点到（轴）距离最大时，的面积最大， ∴面积的最大值是. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 4、D 【答案解析】 直接根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【题目详解】 由图可知月收入的极差为，故选项A正确； 1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确； 易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力. 5、C 【答案解析】 求出集合，，，由此能求出． 【题目详解】 为实数集，，， 或， ． 故选：． 【答案点睛】 本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6、A 【答案解析】 分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【题目详解】 ，故的虚部为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题. 7、B 【答案解析】 利用乘法运算化简复数即可得到答案. 【题目详解】 由已知，，所以，解得. 故选：B 【答案点睛】 本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 8、B 【答案解析】 过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出. 【题目详解】 由圆：配方为， ，半径. ∵过点的直线与圆：相切于点， ∴； ∴； 故选：B. 【答案点睛】 本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题. 9、B 【答案解析】 直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可. 【题目详解】 依题意，， 而， 即， 解得， 则. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 10、A 【答案解析】 根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案. 【题目详解】 若，则与共线，且方向相同，充分性； 当与共线，方向相反时，，故不必要. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 11、C 【答案解析】 根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围. 【题目详解】 当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大. 此时椭圆长轴长为，短轴长为6， 所以椭圆离心率， 所以. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题. 12、B 【答案解析】 由题意或4，则，故选B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先求出向量和夹角的余弦值，再由公式即得. 【题目详解】 如图，过点作的平行线交于点，那么向量和夹角为，，，，，且是直角三角形，，同理得，，. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查平面向量数量积，解题关键是找到向量和的夹角. 14、 【答案解析】 由题意可知：，且，从而可得值． 【题目详解】 由题意可知： ∴，即, ∴ 故答案为： 【答案点睛】 本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题． 15、 【答案解析】 建立合适的直角坐标系,求出相关点的坐标,进而可得的坐标表示,利用平面向量数量积的坐标表示求出的表达式,求出其最小值即可. 【题目详解】 建立直角坐标系如图所示： 则点,,, 设点, 所以, 由平面向量数量积的坐标表示可得, ,其中, 因为, 所以的最小值为. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的坐标表示和利用辅助角公式求最值;考查数形结合思想和转化与化归能力、运算求解能力;建立直角坐标系,把表示为关于角的三角函数,利用辅助角公式求最值是求解本题的关键;属于中档题. 16． 【答案解析】 试题分析：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=1． 考点：排列、组合及简单计数问题． 点评：本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）.（2）答案见解析 【答案解析】 （1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值； （2）利用分析法，只需证明，两边平方后结合即可得证. 【题目详解】 （1），当且仅当时取等号， ∴的最小值； （2）证明：依题意，， 要证，即证，即证，即证，即证，又可知，成立，故原不等式成立. 【答案点睛】 本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法． 1