北京市2023年中考数学真题模拟题汇编专题12图形的性质之解答题1含解析.doc

专题12 图形的性质之解答题（1）（50道题） 一．解答题（共50小题） 1．（2023学年•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD． （1）求证：AD＝CD； （2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数． 【答案】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G， ∴图形G为△ABC的外接圆⊙O， ∵AD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴， ∴AD＝CD； （2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD， ∴CD＝CM， ∵DM⊥BC， ∴BC垂直平分DM， ∴BC为直径， ∴∠BAC＝90°， ∵， ∴OD⊥AC， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB， ∴OD⊥DE， ∴DE为⊙O的切线， ∴直线DE与图形G的公共点个数为1． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定． 2．（2023学年•北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON． （1）依题意补全图1； （2）求证：∠OMP＝∠OPN； （3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明． 【答案】解：（1）如图1所示为所求． （2）设∠OPM＝α， ∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN ∴∠MPN＝150°，PM＝PN ∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α ∵∠AOB＝30° ∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α ∴∠OMP＝∠OPN （3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下： 过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2 ∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90° ∵∠AOB＝30°，OP＝2 ∴PDOP＝1 ∴OD ∵OH1 ∴DH＝OH﹣OD＝1 ∵∠OMP＝∠OPN ∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN 即∠PMD＝∠NPC 在△PDM与△NCP中 ∴△PDM≌△NCP（AAS） ∴PD＝NC，DM＝CP 设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1 ∵点M关于点H的对称点为Q ∴HQ＝MH＝x+1 ∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x ∴OC＝DQ 在△OCN与△QDP中 ∴△OCN≌△QDP（SAS） ∴ON＝QP 【点睛】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON＝QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP＝2为条件构造全等证明ON＝QP． 3．（2023学年•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧． （1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长； （2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点． ①若t，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围． 【答案】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧， 连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点， ∴BC4，DEBC4＝2， ∴弧2π＝π； （2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G， ①当t时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1）， 设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1， ∵OA＝OC，∠AOC＝90° ∴∠ACO＝45°， ∵DE∥OC ∴∠AED＝∠ACO＝45° 作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求； ∴m 综上所述，m或m≥1． ②如图4，设圆心P在AC上， ∵P在DE中垂线上， ∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM， ∴P（t，）， ∵DE∥BC ∴∠ADE＝∠AOB＝90° ∴AE， ∵PD＝PE， ∴∠AED＝∠PDE ∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°， ∴∠DAE＝∠ADP ∴AP＝PD＝PEAE 由三角形中内弧定义知，PD≤PM ∴AE，AE≤3，即3，解得：t， ∵t＞0 ∴0＜t． 【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题． 4．（2023学年•北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF． （1）求证：AC⊥EF； （2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG，求AO的长． 【答案】（1）证明：连接BD，如图1所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴AB：BE＝AD：DF， ∴EF∥BD， ∴AC⊥EF； （2）解：如图2所示： ∵由（1）得：EF∥BD， ∴∠G＝∠ADO， ∴tanG＝tan∠ADO， ∴OAOD， ∵BD＝4， ∴OD＝2， ∴OA＝1． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 5．（2023学年•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A，B和图形ω，如果在图形ω上存在点P，Q（P，Q可以重合），使得AP＝2BQ，那么称点A与点B是图形ω的一对“倍点”． 已知⊙O的半径为1，点B（0，3）． （1）①点B到⊙O的最大值，最小值； ②在A1（5，0），A2（0，10），A3（，）这三个点中，与点B是⊙O的一对“倍点”的是　A1　； （2）在直线yx+b上存在点A与点B是⊙O的一对“倍点”，求b的取值范围； （3）正方形MNST的顶点M（m，1），N（m+1，1），若正方形上的所有点与点B都是⊙O的一对“倍点”，直接写出m的取值范围． 【答案】解：（1）①点B到⊙O的最大值是BO+r＝3+1＝4； 点B到⊙O的最小值是BO﹣r＝3﹣1＝2； ②A1到圆O的最大值6，最小值4；A2到圆O的最大值11，最小值9；A3到圆O的最大值3，最小值1； 点B到⊙O的最大值是4，最小值是2； 在圆O上存在点P，Q，使得AP＝2BQ，则A1与B是⊙O的一对“倍点”， 故答案为A1； （2）∵点B到⊙O的最大值是4，最小值是2 ∴4≤2BQ≤8， ∵O到直线的最大距离是9，即OD＝9， ∵∠DCO＝60°， ∴CO＝6 ∴ ∴； （3）当m＞0时，S（m+1，0），T（m，0），则m+1≥4， ∴m≥3， S（m+1，2），T（m，2），则OS≤9， ∴9， ∴m1； ∴3≤m1； 当m＜0时，S（m+1，0），T（m，0），则m≤﹣4， S（m+1，2），T（m，2），则OT≤9， ∴9， ∴m， ∴m≤﹣4； 综上所述：3≤m1或m≤﹣4； 【点睛】本题考查圆的综合；熟练掌握圆与直线，圆与正方形的关系，点到圆上距离的最值的求法是解题的关键． 6．（2023学年•东城区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为直线AB上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”，记作d（P，直线AB）． 已知A（2，0），B（0，2）． （1）求d（点O，直线AB）； （2）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1，若d（⊙T，直线AB）≤1，直接写出t的取值范围； （3）记函数y＝kx，（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形Q．若d（Q，直线AB）＝1，直接写出k的值． 【答案】解：（1）如图1中，作OH⊥AB于H． ∵A（2，0），B（0，2）， ∴OA＝OB＝2，AB＝2， ∵OA×OBAB×OH， ∴OH， ∴d（点O，直线AB）； （2）如图2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D． 当d（⊙T，直线AB）＝1时，DH＝1， ∴TH＝2，AT＝2， ∴OT＝22， ∴T（2﹣2，0）， 根据对称性可知，当⊙T在直线AB的右边，满足d（⊙T，直线AB）＝1时，T（2+2，0）， ∴满足条件的t的值为2﹣2t． （3）如图3中， 当直线经过点D（2，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为y＝﹣x+2， 当直线y＝kx经过E（1，1）时，k＝1， 当直线y＝kx经过F（﹣1，3），k＝﹣3， 综上所述，满足条件的k的值为﹣3或1． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，图形P和直线AB之间的“确定距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7．（2023学年•朝阳区二模）∠MON＝45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB＝1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）． （1）如图，若OA＝1，OP，依题意补全图形； （2）若OP，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围； （3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆．若OA＝1，当点P在射线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度． 【答案】解：（1）∵OA＝1，OP，∠MON＝45°， ∴PA⊥OA，PA＝1 ∴OC∥OA，PC＝1． 由旋转性质可知：PC⊥CD，CD＝AB＝1， ∴D正好落在OM上． 补全图形，如图1所示． （2）如图2，作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点F． ∵OP，∠MON＝45°， ∴OE＝2． 由题意可知，当线段AB在射线ON上从左向右平移时，线段CD在射线EF上从下向上平移，且OA＝EC． 如图2，当点D与点F重合时，OA取得最小值为1． 如图3，当点C与点F重合时，OA取得最大值为2． 综上所述，OA的取值范围是1≤OA≤2． （3）如图4．作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点Q． 当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时直径为CD＝1，Q在CD的中点，QC 由（2）可知CE＝OA＝1， ∴QE， ∵∠MON＝45°， ∴OP，OQ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，