北京市2023年中考数学真题模拟题汇编专题6方程与不等式之解答题含解析.docx

专题06 方程与不等式之解答题 一．解答题（共48小题） 1．（2023学年•北京）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【答案】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根， ∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0， 解得：m≤1， ∵m为正整数， ∴m＝1， ∴x2﹣2x+1＝0， 则（x﹣1）2＝0， 解得：x1＝x2＝1． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键． 2．（2023学年•北京）解不等式组：4(x-1)＜x+2x+73＞x 【答案】解：4(x-1)＜x+2①x+73＞x②， 解①得：x＜2， 解②得x＜72， 则不等式组的解集为x＜2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 3．（2023学年•房山区二模）已知关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2＝0． （1）当n＝m﹣2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个不相等的实数根，写出一组满足条件的m，n的值，并求出此时方程的根． 【答案】解：（1）∵△＝n2+8m， 当n＝m﹣2时，△＝（m+2）2≥0， ∴方程有两个实根， （2）∵方程有实数根， ∴△＝n2+8m≥0， 若n＝1，m＝1，则方程变形为x2+x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣2． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 4．（2023学年•通州区三模）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m﹣2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，且方程的根都是负整数，求m的值． 【答案】解：（1）由题意，得△＝（2m）2﹣4（m2+m﹣2）≥0， ∴m≤2； （2）∵m≤2，且m为正整数， ∴m＝1或2， 当m＝1时，方程x2+2x＝0 的根x1＝﹣2，x2＝0．不符合题意； 当m＝2时，方程x2+4x+4＝0 的根x1＝x2＝﹣2．符合题意； 综上所述，m＝2． 【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”． 5．（2023学年•昌平区二模）已知：关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 【答案】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等实根， ∴△＝16﹣4（m+1）＞0， 12﹣4m＞0， ∴m＜3； （2）∵当m＝﹣1时， x（x﹣4）＝0， ∴x1＝0，x2＝4． 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 6．（2023学年•通州区三模）解不等式组4(x+2)＜6x+9x+113≤5-x，并写出它的所有非负整数解． 【答案】解：4(x+2)＜6x+9①x+113≤5-x② 解不等式①得x＞-12； 解不等式②得x≤1； ∴原不等式组的解集为-12＜x≤1， ∴原不等式组的所有非负整数解为0，1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解的应用，关键是求出不等式组的解集． 7．（2023学年•昌平区二模）解不等式组：5x-2＜3(x+2)，x+53≤2x. 【答案】解：5x-2＜3(x+2)①x+53≤2x②， 由①可得：x＜4； 由②可得：x≥1； 所以不等式组的解集为：1≤x＜4． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 8．（2023学年•朝阳区二模）关于x的方程mx2﹣2mx+m+n＝0有两个实数根． （1）求实数m，n需满足的条件； （2）写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根． 【答案】解：（1）∵关于x的方程mx2﹣2mx+m+n＝0有两个实数根， ∴m≠0， △＝（﹣2m）2﹣4m（m+n）＝﹣4mn≥0， ∴mn≤0． ∴实数m，n需满足的条件为mn≤0且m≠0． （2）答案不唯一，如：m＝1，n＝0． 此时方程为x2﹣2x+1＝0． 解得x1＝x2＝1． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 9．（2023学年•朝阳区二模）解不等式组2(x-1)≤4x+1，x+22＞x，并写出它的所有整数解． 【答案】解：原不等式组为2(x-1)≤4x+1，①x+22＞x．② 解不等式①得，x≥-32． 解不等式②得，x＜2． ∴原不等式组的解集为-32≤x＜2， ∴原不等式组的所有整数解为﹣1，0，1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 10．（2023学年•东城区二模）关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根大于3，求m的取值范围． 【答案】（1）证明：依题意，得△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0， ∵（m﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）x2﹣mx+m﹣1＝0， （x﹣1）（x﹣m+1）＝0， ∴x1＝1，x2＝m﹣1， ∵方程有一个根大于3， ∴m﹣1＞3， ∴m＞4． ∴m的取值范围是m＞4． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 11．（2023学年•顺义区二模）解不等式组2(x+1)＜x+5x+73≤x+3，并写出它的非负整数解． 【答案】解：解不等式①得x＜3， 解不等式②得x≥﹣1， ∴此不等式组的解集是﹣1≤x＜3， ∴此不等式组的非负整数解是0，1，2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 12．（2023学年•西城区二模）解方程：xx+1=1+1x． 【答案】解：去分母得：x2＝x2+x+x+1， 解得：x=-12， 经检验x=-12是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13．（2023学年•海淀区二模）关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1＝0，其中k＜0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）当k＝﹣1时，求该方程的根． 【答案】解：（1）依题意可知，△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝5﹣4k， ∵k＜0， ∴△＞0． ∴方程有两个不相等的实数根． （2）当k＝﹣1时，方程为x2+3x＝0． 解得x1＝﹣3，x2＝0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 14．（2023学年•海淀区二模）解不等式组：4x-8＜2(x-1)，x+102＞3x． 【答案】解：4x-8＜2(x-1)①x+102＞3x② 解不等式①，得x＜3． 解不等式②，得x＜2． ∴原不等式组的解集为x＜2． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15．（2023学年•平谷区二模）已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+14k2=0 有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最小整数时，求此时方程的解． 【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+14k2=0 有两个不相等的实数根， ∴△＝（k+1）2﹣4×14k2＞0， ∴k＞-12； （2）∵k取最小整数， ∴k＝0， ∴原方程可化为x2+x＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 16．（2023学年•平谷区二模）解不等式组：2(x-3)≤x-4x-23＜x并求非负整数解． 【答案】解：2(x-3)≤x-4①x-23＜x② 解不等式①得：x≤2， 解不等式②得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2， ∴不等式组的非负整数解是0，1，2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键． 17．（2023学年•石景山区二模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的m，并求出此方程的根． 【答案】解：（1）由题意可得 b2﹣4ac＝32﹣4（m﹣2）×（﹣1）＞0， 9+4m﹣8＞0， 解得 m＞-14， 又m﹣2≠0， ∴m≠2 ∴m的取值范围：m＞-14且m≠2； （2）∵方程的两个根都是有理数，∴ b2-4ac为有理数且不为0， 即4m+1为有理数且不为0， 取即4m+1=1，m＝0， ∴当m＝0时，原方程化为﹣2x2﹣3x+1＝0， 解得x1＝1，x2＝2． 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握运用根的判别式是解题的关键． 18．（2023学年•大兴区一模）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+（m﹣3）＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）请你给m赋一个值，并求此时方程的根． 【答案】（1）证明：依题意，得△＝（2﹣m）2﹣4×1×+（m﹣3）＝（m﹣4）2． ∵（m﹣4）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：当m＝3时， 解方程x2﹣x＝0． 解得x1＝0，x2＝1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 19．（2023学年•大兴区一模）解不等式组：-3x+5≥212(x+1)＜13x+1 【答案】解：-3x+5≥2①12(x+1)＜13x+1② 解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x＜3， ∴不等式组的解集为x≤1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 20．（2023学年•怀柔区一模）已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 【答案】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根． ∴△＝4﹣4（m﹣2）＞0． ∴m＜3； （2）∵m＜3 且 m为正整数， ∴m＝1或2． 当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去； 当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0． ∴x（x﹣2）＝0． ∴x1＝0，x2＝2．符合题意． 综上所述，m＝2． 【点睛】本题考查了根的判别式和解