北京市2023年中考数学真题模拟题汇编专题9函数之解答题含解析.docx

专题09 函数之解答题 一．解答题（共73小题） 1．（2023学年•北京）如图，P是AB与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是AB上一动点，连接PC交弦AB于点D． 小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定　AD　的长度是自变量，　PD　的长度和　PC　的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为　2.3和4　cm． 【答案】解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量 故答案为：AD、PC、PD； （2）描点画出如图图象； （3）PC＝2PD， 从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求， 即AD的长度为2.3和4.0． 【点睛】本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值． 2．（2023学年•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx-1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含a的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点P（12，-1a），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】解：（1）A（0，-1a） 点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，-1a）； （2）A与B关于对称轴x＝1对称， ∴抛物线对称轴x＝1； （3）∵对称轴x＝1， ∴b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax-1a， ①a＞0时， 当x＝2时，y=-1a＜2， 当y=-1a时，x＝0或x＝2， ∴函数与AB无交点； ②a＜0时， 当y＝2时，ax2﹣2ax-1a=2， x=a+|a+1|a或x=a-|a+1|a 当a+|a+1|a≤2时，a≤-12； ∴当a≤-12时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点； 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键． 3．（2023学年•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C． （1）求直线l与y轴的交点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W． ①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数； ②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围． 【答案】解：（1）令x＝0，y＝1， ∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）； （2）由题意，A（k，k2+1），B（-k-1k，﹣k），C（k，﹣k）， ①当k＝2时，A（2，5），B（-32，﹣2），C（2，﹣2）， 在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）； ②直线AB的解析式为y＝kx+1， 当x＝k+1时，y＝﹣k+1，则有k2+2k＝0， ∴k＝﹣2， 当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点， ∴当0＞k≥﹣1或k＝﹣2时W内没有整数点； 【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键． 4．（2023学年•朝阳区校级一模）如图，半圆O的直径AB＝5cm，点M在AB上且AM＝1cm，点P是半圆O上的动点，过点B作BQ⊥PM交PM（或PM的延长线）于点Q．设PM＝xcm，BQ＝ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为0） 小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表： x/cm 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 y/cm 0 3.7 　4　 3.8 3.3 2.5 　0　 （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PBM的面积为1时，PM的长度约为　1.1或3.7　cm． 【答案】解：（1）当x＝2时，PM⊥AB，此时Q与M重合，BQ＝BM＝4， 当x＝4时，点P与B重合，此时BQ＝0． 故答案为4；0． （2）函数图象如图所示： （3）如图， 在Rt△BQM中，∵∠Q＝90°，∠MBQ＝60°， ∴∠BMQ＝30°， ∴BQ=12BM＝2， 观察图象可知y＝2时，对应的x的值为1.1或3.7． 故答案为1.1或3.7． 【点睛】本题考查圆综合题，垂径定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、坐标与函数图象问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题． 5．（2023学年•怀柔区二模）研究发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的．讲课开始时，学生的注意力激增，中间有一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤45时，图象是线段．根据图象回答问题： （1）课堂上，学生注意力保持平稳状态的时间段是　10到20分钟　． （2）结合函数图象回答，一道几何综合题如果需要讲25分钟，老师最好在上课后大约第　4　分钟到第　29　分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态． 【答案】解：（1）由图象可知，学生注意力保持平稳状态的时间段为：10到20分钟时， 故答案为：10到20分钟． （2）当0≤x≤10时，设抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx+c， ∵图象过点（0，20），（5，39），（10，48） ∴c=2025a+5b+c=39100a+10b+c=48 解得a=-15，b=245，c＝20 ∴y=-15x2+245x+20，（0≤x≤10）． 当20≤x≤45，设其函数解析式为y＝kx+b 将（20，48），（45，20）代入得 48=20k+b20=45k+b 解得k=-1.12b=70.4 ∴y＝﹣1.12x+70.4 令y＝39得x=28128 28128-5=23128 ∴老师最好在上课后大约第 4分钟到第 29分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态． 故答案为4，29． 【点睛】本题是一次函数，二次函数结合函数图象在实际问题中的应用，理论联系实际是解决此类问题的关键． 6．（2023学年•朝阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，0）的直线l：y＝mx﹣3与y轴交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点C是直线l与双曲线y=nx的一个公共点，AB＝3AC，求n的值． 【答案】解：（1）∵直线l：y＝mx﹣3过点A（2，0）， ∴0＝2m﹣3． ∴m=32． ∴直线l的表达式为y=32x﹣3； （2）当x＝0时，y＝﹣3， ∴点B（0，﹣3）， 如图1，当点C在BA延长线上时，作CD⊥y轴于点D， 则△BAO∽△BCD， ∴BABC=OACD=BOBD，即34=2CD=33+OD， 解得：CD=83，OD＝1， ∴点C（83，1）， 则n=83×1=83； 如图2，当点C在线段AB上时，作CE⊥y轴于点E， 则△BAO∽△BCE， ∴BCBA=CEAO=BEBO，即23=CE2=BE3， 解得：CE=43，BE＝2， ∴OE＝BO﹣BE＝1， ∴点C的坐标为（43，﹣1）， 则n=43×（﹣1）=-43， 综上，n=83或-43． 【点睛】本题主要考查直线和双曲线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（2023学年•西城区二模）某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）与服药后的时间t（单位：小时）之间近似满足某种函数关系，如表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示． t 0 1 2 3 4 6 8 10 … y 0 2 4 2.83 2 1 0.5 0.25 … （1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t，y），并补全该函数的图象； （2）结合函数图象，解决下列问题： ①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为　1.41　微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约　7.75　小时； ②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为　4.25　微克． 【答案】解：（1）如图所示： （2）①由函数图象得：某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为1.41微克； 当y＝0.5时，t=14或8， 8-14=7.75， ∴则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约7.75小时； 故答案为：1.41，7.75； ②第一次服药8小时后2小时，即10小时含药量为0.25微克，第二次服药2小时含药量为4微克，所以第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为：4+0.25＝4.25微克； 故答案为：4.25． 【点睛】本题主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据坐标画出图象，解题的关键是要分析题意，并会根据图示得出所需要的信息． 8．（2023学年•海淀区二模）有这样一个问题：探究函数y=18x2-1x的图象与性质． 小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数y=18x2-1x的图象与性质进行了探究． 下面是小宇的探究过程，请补充完整： （1）函数y=18x2-1x的自变量x的取值范围是； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，完成以下作图步骤： ①画出函数y=14x2和y=-2x的图象； ②在x轴上取一点P，过点P作x轴的垂线l，分别交函数y=14x2和y=-2x的图象于点M，N，记线段MN的中点为G； ③在x轴正半轴上多次改变点P的位置，用②的方法得到相应的点G，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数y=18x2-1x在y轴右侧的图象．继续在x轴负半轴上多次改变点P的位置，重复上述操作得到该函数在y轴左侧的图象． （3）结合函数y=18x2-1x的图象，发现： ①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为（保留小数点后一位）； ②该函数还具有的性质为：　当x＞0时，y随x的增大而增大　（一条即可）． 【答案】解：（1）∵x在分母上， ∴x≠0． 故函数y=18x2-1x的自变量x的取值范围是x≠