2023届宁夏银川市宁大附中高三第二次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，） C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg 2．若平面向量，满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．已知复数，则（ ） A． B． C． D．2 4．若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若等差数列的前项和为，且，，则的值为（ ）． A．21 B．63 C．13 D．84 6．将函数图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线对称，则函数在上的值域是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数,则方程的实数根的个数是（ ） A． B． C． D． 8．定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，、、、四点的横坐标依次为、、、，则函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 9．是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 11．已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D．1 12．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ） A． B． C．16 D．32 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有____种． 14．在中，，，，则________，的面积为________． 15．已知，则_____。 16．设、、、、是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）有最大值，且最大值大于. （1）求的取值范围； （2）当时，有两个零点，证明：. (参考数据：) 18．（12分）已知是抛物线的焦点，点在轴上，为坐标原点，且满足，经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）直线与抛物线交于、两点，若，求点到直线的最大距离. 19．（12分）已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 20．（12分）如图，设椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程． 21．（12分）如图所示，在四面体中，，平面平面，，且. （1）证明：平面； （2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值. 22．（10分）的内角，，的对边分别为，,已知，. （1）求； （2）若的面积，求. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确； 回归直线过样本点的中心（），B正确； 该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确； 该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误． 故选D． 2、C 【答案解析】 可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值. 【题目详解】 由题意可得： ， ， ， 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题. 3、C 【答案解析】 根据复数模的性质即可求解. 【题目详解】 , , 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了复数模的性质，属于容易题. 4、A 【答案解析】 化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【题目详解】 由题意，复数z满足，可得， 所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 5、B 【答案解析】 由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求，，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 【题目详解】 解：因为，， 所以，解可得，，， 则． 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题． 6、D 【答案解析】 由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果. 【题目详解】 解：把函数图象向右平移个单位长度后， 可得的图象； 再根据得到函数的图象关于直线对称， ，， ，函数. 在上，，， 故，即的值域是， 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题． 7、D 【答案解析】 画出函数 ,将方程看作交点个数，运用图象判断根的个数． 【题目详解】 画出函数 令有两解 ，则分别有3个，2个解，故方程的实数根的个数是3+2=5个 故选：D 【答案点睛】 本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题． 8、B 【答案解析】 先辨别出图象中实线部分为函数的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数的导数为，由，得出，只需在图中找出满足不等式对应的的取值范围即可. 【题目详解】 若虚线部分为函数的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与轴有三个交点，不合乎题意； 若实线部分为函数的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与轴恰好也只有两个交点，合乎题意. 对函数求导得，由得， 由图象可知，满足不等式的的取值范围是， 因此，函数的单调递减区间为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题. 9、B 【答案解析】 分别判断充分性和必要性得到答案. 【题目详解】 所以 （逆否命题）必要性成立 当，不充分 故是必要不充分条件，答案选B 【答案点睛】 本题考查了充分必要条件，属于简单题. 10、B 【答案解析】 求得的导函数，由此构造函数，根据题意可知在上有变号零点.由此令，利用分离常数法结合换元法，求得的取值范围. 【题目详解】 ， 设， 要使在区间上不是单调函数， 即在上有变号零点，令， 则， 令，则问题即在上有零点，由于在上递增，所以的取值范围是. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 11、C 【答案解析】 先将，化简转化为，再得到下结论. 【题目详解】 已知复数， 所以， 所以的虚部为-1. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12、A 【答案解析】 几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是，选A. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、60 【答案解析】 试题分析：每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种. 考点：排列组合. 14、 【答案解析】 利用余弦定理可求得的值，进而可得出的值，最后利用三角形的面积公式可得出的面积. 【题目详解】 由余弦定理得，则， 因此，的面积为. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题. 15、 【答案解析】 由已知求，再利用和角正切公式，求得， 【题目详解】 因为所以cos 因此. 【答案点睛】 本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。 16、 【答案解析】 根据球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，求得四棱锥的表达式，利用基本不等式求得体积的最大值. 【题目详解】 由已知可得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，棱锥的高为，底面边长为，的体积 ，当且仅当时等号成立. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查球的表面积有关计算，考查球的内接四棱锥体积的最值的求法，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）证明见解析. 【答案解析】 （1）求出函数的定义域为，，分和两种情况讨论，分析函数的单调性，求出函数的最大值，即可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围； （2）利用导数分析出函数在上递增，在上递减，可得出，由，构造函数，证明出，进而得出，再由函数在区间上的单调性可证得结论. 【题目详解】 （1）函数的定义域为，且. 当时，对任意的，， 此时函数在上为增函数，函数为最大值； 当时，令，得. 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减. 所以，函数在处取得极大值，亦即最大值， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围是； （2）当时，，定义域为， ，当时，；当时，. 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 由于函数有两个零点、且，， ， 构造函数，其中， ， 令，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，则，则. 所以，函数在区间上单调递减， ，， 即，即， ，且，而函数在上为减函数， 所以，，因此，. 【答案点睛】 本题考查利用函数的最值求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于难题. 18、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）求得点的坐标，可得出直线的方程，与抛物线的方程联立，结合求出正实数的值，进而可得出抛物线的方程； （2）设点，，设的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合求得的值，可得出直线所过定点的坐标，由此可得出点到直线的最大距离. 【题目详解】 （1）易知点，又，所以点，则直线的方程为. 联立，解得或，所以. 故抛物线的方程为； （2）设的方程为，联立有， 设点，，则，所以. 所以，解得. 所以直线的