2023届吉林省蛟河市第一中学高三最后一卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．定义运算，则函数的图象是（ ）． A． B． C． D． 2．设，则 A． B． C． D． 3．设函数，若函数有三个零点，则（　　） A．12 B．11 C．6 D．3 4．已知复数满足，则的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 5．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（ ） A． B． C． D． 7．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（ ） A． B．3 C．1 D． 9．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 10．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A．3 B．2 C． D．1 11．下列四个图象可能是函数图象的是（ ） A． B． C． D． 12．已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设数列的前n项和为，且，若，则______________. 14．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺：问亭方几何？”大致意思是：有一个四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截取一段，使之成为正四棱台状方亭，且四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的高为________尺，体积是_______立方尺（注：1丈=10尺）. 15．如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，若，，则双曲线的离心率是______. 16．已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积是________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知. （Ⅰ） 若，求不等式的解集； （Ⅱ），，，求实数的取值范围. 18．（12分）如图，在三棱柱中，、、分别是、、的中点. （1）证明：平面； （2）若底面是正三角形，，在底面的投影为，求到平面的距离. 19．（12分）在中，角所对的边分别为，若，，，且. （1）求角的值； （2）求的最大值. 20．（12分）在直角坐标系中，直线l过点，且倾斜角为，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． 求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线； 设直线l与曲线C相交与M，N两点，当，求的值． 21．（12分）如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且. （1）求证：平面； （2）求锐二面角的余弦值. 22．（10分）在中，角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 由已知新运算的意义就是取得中的最小值， 因此函数， 只有选项中的图象符合要求，故选A. 2、C 【答案解析】 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解： ， 则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3、B 【答案解析】 画出函数的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果． 【题目详解】 作出函数的图象如图所示， 令， 由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个）， 所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根）， 由，可得的值分别为， 则 故选B． 【答案点睛】 本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型. 4、B 【答案解析】 根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可. 【题目详解】 由，得，所以． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题. 5、A 【答案解析】 易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程. 【题目详解】 由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故， 又所以，即， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题. 6、D 【答案解析】 如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，，结合、可求离心率. 【题目详解】 如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于. 因为，故四边形为平行四边形，故. 又双曲线为中心对称图形，故. 设，则，故，故. 因为为直角三角形，故，解得. 在中，有，所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题. 7、B 【答案解析】 由点的坐标满足方程，可得在圆上，由坐标满足方程，可得在圆上，则求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果. 【题目详解】 点的坐标满足方程， 在圆上， 在坐标满足方程， 在圆上， 则作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为与， 由图可知， 设两圆内公切线方程为， 则， 圆心在内公切线两侧，， 可得，， 化为，， 即， ， 的取值范围，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解. 8、D 【答案解析】 整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解. 【题目详解】 由题,, 因为纯虚数,所以,则, 故选:D 【答案点睛】 本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算. 9、D 【答案解析】 取AC中点N，由题意得即为二面角的平面角，过点B作于O，易得点O为的中心，则三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为，列出方程即可得解. 【题目详解】 如图，由题意易知与均为正三角形，取AC中点N，连接BN，DN， 则，，即为二面角的平面角， 过点B作于O，则平面ACD， 由，可得，，， 即点O为的中心， 三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为， ，, 解得， 三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题. 10、A 【答案解析】 根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案. 【题目详解】 解：由于，根据导数的几何意义得： ， 即切线斜率， 当且仅当等号成立， 所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 11、C 【答案解析】 首先求出函数的定义域，其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，因为为奇函数，即可得到函数图象关于对称，即可排除A、D，再根据时函数值，排除B，即可得解. 【题目详解】 ∵的定义域为， 其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到， ∵为奇函数，图象关于原点对称， ∴的图象关于点成中心对称. 可排除A、D项. 当时，，∴B项不正确. 故选：C 【答案点睛】 本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题. 12、A 【答案解析】 首先根据为上的减函数，列出不等式组，求得，所以当最小时，，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果. 【题目详解】 由于为上的减函数，则有，可得， 所以当最小时，， 函数恰有两个零点等价于方程有两个实根， 等价于函数与的图像有两个交点． 画出函数的简图如下，而函数恒过定点， 数形结合可得的取值范围为． 故选：A. 【答案点睛】 该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、9 【答案解析】 用换中的n，得，作差可得，从而数列是等比数列，再由即可得到答案. 【题目详解】 由，得，两式相减，得， 即；又，解得，所以数列为首项为-3、 公比为3的等比数列，所以. 故答案为：9. 【答案点睛】 本题考查已知与的关系求数列通项的问题，要注意n的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题. 14、21 3892 【答案解析】 根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积. 【题目详解】 如图所示： 正四棱锥P-A BCD的下底边长为二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺， 截去一段后，得正四棱台ABCD-A'B'C'D'，且上底边长为A'B'=6尺， 所以， 解得， 所以该正四棱台的体积是 ， 故答案为：21；3892. 【答案点睛】 本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，属于中档题. 15、 【答案解析】 根据三角形中位线证得，结合判断出垂直平分，由此求得的值，结合求得的值. 【题目详解】 ∵，∴为中点，，∵，∴垂直平分，∴，即，∴，，即. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 16、 【答案解析】 将三棱锥补成长方体，设，，，设三棱锥的外接球半径为，求得的值，然后利用球体表面积公式可求得结果. 【题目详解】 将三棱锥补成长方体，设，，， 设三棱锥的外接球半径为，则， 由勾股定理可得， 上述三个等式全部相加得，， 因此，三棱锥的外