2023届优质金卷：辽宁省实验中学高三第二次诊断性检测数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．双曲线的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 5．（ ） A． B． C．1 D． 6．如图，已知三棱锥中，平面平面，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（） A． B． C． D． 8．集合的真子集的个数为( ) A．7 B．8 C．31 D．32 9．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( ) A． B． C． D． 10．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ） A．圆，但要去掉两个点 B．椭圆，但要去掉两个点 C．双曲线，但要去掉两个点 D．抛物线，但要去掉两个点 11．已知函数若函数在上零点最多，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．若函数在时取得极值，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数满足的取值范围是__________． 14．平面直角坐标系中,O为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为 15．将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为__________． 16．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，则球的体积为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数． （1）当（为自然对数的底数）时，求函数的极值； （2）为的导函数，当，时，求证：． 18．（12分）已知数列满足：，，且对任意的都有, （Ⅰ）证明：对任意，都有； （Ⅱ）证明：对任意，都有； （Ⅲ）证明：. 19．（12分）已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 20．（12分）已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1． (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值． 21．（12分）设函数. （1）若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围； （2）若，证明：. 22．（10分）已知点，且，满足条件的点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）是否存在过点的直线，直线与曲线相交于两点，直线与轴分别交于两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 可设，根据在上为偶函数及便可得到：，可设，，且，根据在上是减函数便可得出，从而得出在上单调递增，再根据对数的运算得到、、的大小关系，从而得到的大小关系. 【题目详解】 解：因为，即，又， 设，根据条件，，； 若，，且，则：； 在上是减函数； ； ； 在上是增函数； 所以， 故选：C 【答案点睛】 考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设，通过条件比较与，函数的单调性的应用，属于中档题. 2、A 【答案解析】 解一元二次不等式化简集合的表示，求解函数的定义域化简集合的表示，根据可以得到集合、之间的关系，结合数轴进行求解即可. 【题目详解】 ，. 因为，所以有，因此有. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力. 3、B 【答案解析】 由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积. 【题目详解】 由三视图可知，该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的， 如图，故其表面积为， 故选：B. 【答案点睛】 (1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 4、A 【答案解析】 将双曲线方程化为标准方程为，其渐近线方程为，化简整理即得渐近线方程. 【题目详解】 双曲线得，则其渐近线方程为， 整理得. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用. 5、A 【答案解析】 利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果. 【题目详解】 ，， 因此，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 6、A 【答案解析】 作于,于,分析可得,,再根据正弦的大小关系判断分析得,再根据线面角的最小性判定即可. 【题目详解】 作于,于. 因为平面平面,平面.故, 故平面.故二面角为. 又直线与平面所成角为,因为, 故.故,当且仅当重合时取等号. 又直线与平面所成角为,且为直线与平面内的直线所成角,故,当且仅当平面时取等号. 故. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题. 7、A 【答案解析】 根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系. 【题目详解】 为偶函数 图象关于轴对称 图象关于对称 时，单调递减 时，单调递增 又且 ，即 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果. 8、A 【答案解析】 计算，再计算真子集个数得到答案. 【题目详解】 ，故真子集个数为：. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力. 9、A 【答案解析】 求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【题目详解】 抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A． 【答案点睛】 本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 10、A 【答案解析】 根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上. 【题目详解】 ,， , 又，, 平面,又平面 ， 故在以为直径的圆上， 又是内异于的动点， 所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题. 11、D 【答案解析】 将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题，画出函数的图象，易知直线过定点，故与在时的图象必有两个交点，故只需与在时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解. 【题目详解】 由图知与有个公共点即可， 即，当设切点， 则， . 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题. 12、D 【答案解析】 对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果. 【题目详解】 因为，所以， 又函数在时取得极值， 所以，解得. 故选D 【答案点睛】 本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 问题转化为求直线与圆有公共点时，的取值范围，利用数形结合思想能求出结果． 【题目详解】 解：直线，点，， 直线上存在点满足， 的轨迹方程是． 如图，直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离： ， 解得． 实数的取值范围为． 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题． 14、 【答案解析】 根据向量共线定理得A,B,C三点共线，再根据点斜式得结果 【题目详解】 因为,且α+β=1，所以A,B,C三点共线， 因此点C的轨迹为直线AB: 【答案点睛】 本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题. 15、 【答案解析】 根据图像的平移变换得到函数的解析式，再利用整体思想求函数的值域. 【题目详解】 函数的图像向右平移个单位得， ， ， . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意整体思想的运用. 16、 【答案解析】 由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积. 【题目详解】 解：因为，为正三角形， 所以， 因为，所以三棱锥的三条侧棱两两垂直， 所以它的外接球就是棱长为的正方体的外接球， 因为正方体的对角线长为，所以其外接球的半径为， 所以球的体积为 故答案为： 【答案点睛】 此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）极大值，极小值；（2）详见解析. 【答案解析】 首先确定函数的定义域和； （1）当时，根据的正负可确定单调性，进而确定极值点，代入可求得极值； （2）通过分析法可将问题转化为证明，设，令，利用导数可证得，进而得到结论. 【题目详解】 由题意得：定义域为，， （1）当时，， 当和时，；当时，， 在，上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为. （2）要证：， 即证：， 即证：， 化简可得：． ，，即证：， 设，令，则， 在上单调递增，，则由， 从而有：. 【答案点睛】 本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题. 18、（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【答案解析】 分析：(1)用反证法证明，注意应用题中所给的条件，有效利用，再者就是注意应用反证法