2023届哈尔滨师范大学附属中学高三第一次调研测试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( ) A． B．0 C． D． 2．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．函数图像可能是（ ） A． B． C． D． 4．已知，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．已知等比数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 6．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 7．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 9． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ） A． B． C．10 D． 10．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（ ） A．e B．e2 C．ln2 D．2ln2 11．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ） A． B． C． D． 12．若为虚数单位，则复数，则在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围有___________. 14．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______ 15．记等差数列和的前项和分别为和，若，则______. 16．在中，内角的对边分别为，已知，则的面积为___________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若． （1）求角A； （2）若的面积为，求的周长． 18．（12分）在直角坐标系中，已知直线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线和直线的极坐标方程； （2）已知直线与曲线、相交于异于极点的点，若的极径分别为，求的值. 19．（12分）已知函数． （1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集； （2）已知，若，使得成立，求实数的取值范围． 20．（12分）如图，为坐标原点，点为抛物线的焦点，且抛物线上点处的切线与圆相切于点 （1）当直线的方程为时，求抛物线的方程； （2）当正数变化时，记分别为的面积，求的最小值． 21．（12分）已知椭圆的焦距为2，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点， （ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）； （ⅱ）当取最小值时，求点的坐标． 22．（10分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上. （Ⅰ）求的极坐标方程和曲线的参数方程； （Ⅱ）求曲线的内接矩形的周长的最大值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【题目详解】 由题意，函数为辅助角， 由于函数的对称轴的方程为，且， 即，解得，所以， 又由，所以函数必须取得最大值和最小值， 所以可设，， 所以， 当时，的最小值，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 2、C 【答案解析】 根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案. 【题目详解】 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象， 由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称， 即函数为偶函数，由，得， 函数在区间上单调递增，则，得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题. 3、D 【答案解析】 先判断函数的奇偶性可排除选项A,C，当时，可分析函数值为正，即可判断选项. 【题目详解】 , , 即函数为偶函数， 故排除选项A,C， 当正数越来越小，趋近于0时，， 所以函数，故排除选项B, 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题. 4、D 【答案解析】 由指数函数的图像与性质易得最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系，进而得解. 【题目详解】 根据指数函数的图像与性质可知， 由对数函数的图像与性质可知，，所以最小； 而由对数换底公式化简可得 由基本不等式可知，代入上式可得 所以， 综上可知， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题. 5、B 【答案解析】 由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B. 6、A 【答案解析】 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【题目详解】 ∵x∈（0，1）， ∴a＝lnx＜0， b＝（）lnx＞（）0＝1， 0＜c＝elnx＜e0＝1， ∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7、B 【答案解析】 由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得． 【题目详解】 解：由等差数列的性质可得，解得， ， 故选：B． 【答案点睛】 本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题． 8、B 【答案解析】 首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【题目详解】 将周一至周五分为组，每组至少天，共有：种分组方法； 将四大名著安排到组中，每组种名著，共有：种分配方法； 由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：种 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题. 9、D 【答案解析】 直接根据几何概型公式计算得到答案. 【题目详解】 根据几何概型：，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力. 10、B 【答案解析】 将u= lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值. 【题目详解】 解：将u= lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得： ，即， 当时，取到最大值2， 因为在上单调递增，则取到最大值. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,. 11、D 【答案解析】 由半圆面积之比，可求出两个直角边 的长度之比，从而可知，结合同角三角函数的基本关系，即可求出，由二倍角公式即可求出. 【题目详解】 解：由题意知 ，以 为直径的半圆面积， 以 为直径的半圆面积，则，即. 由 ，得 ，所以. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 12、B 【答案解析】 首先根据特殊角的三角函数值将复数化为，求出，再利用复数的几何意义即可求解. 【题目详解】 ， ， 则在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、或 【答案解析】 函数的零点方程的根，求出方程的两根为，，从而可得或，即或. 【题目详解】 函数在区间的零点方程在区间的根，所以，解得：，， 因为函数在区间上有且仅有一个零点， 所以或，即或. 【答案点睛】 本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论. 14、 【答案解析】 由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求． 【题目详解】 解：如图，在四面体中，底面，，， 可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，， 则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1． 其表面积为． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题． 15、 【答案解析】 结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可. 【题目详解】 由题意,,, 因为,所以. 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查了等差数列的前项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 16、 【答案解析】 由余弦定理先算出c，再利用面积公式计算即可. 【题目详解】 由余弦定理，得，即，解得， 故的面积. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）1. 【答案解析】 （1）由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB=sinBcosA，求得tanA=，结合范围A∈（0，π），可求A=． （2）利用三角形的面积公式可求bc=8，由余弦定理解得b+c=7，即可得解△ABC的周长的值． 【题目详解】 （1）由题意，在中，因为， 由正弦定理，可得sinAsinB=sinBcosA， 又因为，可得sinB≠0， 所以sinA=cosA，即：tanA=， 因为A∈（0，π），所以A=； （2）由（1）可知A