2023届天津市天津市第一中学高三（最后冲刺）数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是( ) A．3 B．2 C．4 D．5 2．执行下面的程序框图，则输出的值为 （ ） A． B． C． D． 3．已知为定义在上的偶函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知等差数列的前n项和为，，则 A．3 B．4 C．5 D．6 5．设，，则（ ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致为 A． B． C． D． 7．已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 8．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( ) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 9．方程在区间内的所有解之和等于( ) A．4 B．6 C．8 D．10 10．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ） A． B． C． D． 11．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为（ ） A． B．6 C． D． 12．在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．的展开式中的常数项为__________. 14． “北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________. 15．设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为________. 16．已知“在中，”，类比以上正弦定理，“在三棱锥中，侧棱与平面所成的角为、与平面所成的角为，则________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知数列满足，，其前n项和为. （1）通过计算，，，猜想并证明数列的通项公式； （2）设数列满足，，，若数列是单调递减数列，求常数t的取值范围. 18．（12分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 19．（12分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为. （1）写出圆C的直角坐标方程； （2）设直线l与圆C交于A，B两点，，求的值. 20．（12分）已知椭圆与x轴负半轴交于，离心率. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C交于两点，连接AM,AN并延长交直线x=4于两点，若，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 21．（12分）如图所示的几何体中，，四边形为正方形，四边形为梯形，，，，为中点. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 22．（10分）已知点，若点满足. （Ⅰ）求点的轨迹方程； （Ⅱ）过点的直线与（Ⅰ）中曲线相交于两点，为坐标原点， 求△面积的最大值及此时直线的方程. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据条件将问题转化为，对于恒成立，然后构造函数，然后求出的范围，进一步得到的最大值. 【题目详解】 ，，对任意的，存在实数满足，使得， 易得，即恒成立， ，对于恒成立, 设，则， 令，在恒成立， ， 故存在，使得，即， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ,将代入得： ， ，且， 故选：A 【答案点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题. 2、D 【答案解析】 根据框图，模拟程序运行，即可求出答案. 【题目详解】 运行程序， ， ， ， ， ， ，结束循环， 故输出， 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题. 3、D 【答案解析】 判断，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【题目详解】 ∵，∴． 故选： 【答案点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 4、C 【答案解析】 方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C． 方法二：因为，所以，则.故选C． 5、D 【答案解析】 集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【题目详解】 ， ， 则 故选 【答案点睛】 本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题． 6、D 【答案解析】 由题可得函数的定义域为， 因为，所以函数为奇函数，排除选项B； 又，，所以排除选项A、C，故选D． 7、D 【答案解析】 令，求，利用导数判断函数为单调递增，从而可得，设，利用导数证出为单调递减函数，从而证出，即可得到答案. 【题目详解】 时， 令，求导 ，，故单调递增： ∴， 当，设， ， 又， ，即， 故. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题. 8、B 【答案解析】 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【题目详解】 根据已知函数 其中，的图象过点，， 可得，， 解得：． 再根据五点法作图可得， 可得：， 可得函数解析式为： 故把的图象向左平移个单位长度， 可得的图象， 故选B． 【答案点睛】 本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题． 9、C 【答案解析】 画出函数和的图像，和均关于点中心对称，计算得到答案. 【题目详解】 ，验证知不成立，故， 画出函数和的图像， 易知：和均关于点中心对称，图像共有8个交点， 故所有解之和等于. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点中心对称是解题的关键. 10、B 【答案解析】 根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解. 【题目详解】 从八卦中任取两卦基本事件的总数种， 这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种， 分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮）， 所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11、D 【答案解析】 根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解. 【题目详解】 如图,该几何体为正方体去掉三棱锥, 所以该几何体的体积为：, 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题. 12、D 【答案解析】 由得，分别算出和的值，从而得到的值. 【题目详解】 ∵， ∴， ∴， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴， 故选：D. 【答案点睛】 本小题主要考查对数运算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、31 【答案解析】 由二项式定理及其展开式得通项公式得：因为的展开式得通项为，则的展开式中的常数项为： ，得解. 【题目详解】 解：， 则的展开式中的常数项为： . 故答案为：31. 【答案点睛】 本题考查二项式定理及其展开式的通项公式，求某项的导数，考查计算能力. 14、 【答案解析】 画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案. 【题目详解】 如图所示，设椭圆的长半轴为，半焦距为， 因为地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,, 可得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 15、 【答案解析】 利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值． 【题目详解】 解：设点，，其中， ， 由，，， 可设 ， 导数为， 由，可得 ， 可得或， 由 ，， 可得，即，可得， 由可得函数递减；由，可得函数递增， 可得时，函数取得最小值，且为， 则的最小值为1． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题． 16、 【答案解析】 类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角． 【题目详解】 ，故， 【答案点睛】 本题考查类比推理．类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1），证明见解析；（2） 【答案解析】 （1）首先利用赋值法求出的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数的范围． 【题目详解】 （1）数列满足，，其前项和为． 所以，， 则，，， 所以猜想得：． 证明：由于， 所以， 则：（常数）， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列． 所以，整理得． （2）数列满足，， 所以， 则， 所以．则， 所以， 所以，整理得， 由于，所以，即． 【答案点睛】 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型． 18、（1）见解析；（2） 【答案解析】 （1）取中点，中点，连接，，.设交于，则为的中点，连接. 通过证明，证得平面，由此证得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值. 【题目详解】 （1）取中点，中点，连接，，. 设交于，则为的中点，连接. 设，则，，∴. 由已知，，∴平面，∴. ∵，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）由（1）及已知可得平面，建立如图所示的空间坐标系，设，则，，，，，，，， 设平面的法向量为，∴，令得. 设平面的法向量为，∴，令得，∴，∴二面角的余弦值为. 【答案点睛