2023届宁夏宁川市兴庆区长庆高级中学高三压轴卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．过点的直线与曲线交于两点，若，则直线的斜率为( ) A． B． C．或 D．或 2．（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，则函数的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点，其横坐标分别为，则（ ） A． B． C． D． 5．若的展开式中的系数为150，则（ ） A．20 B．15 C．10 D．25 6．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 7．若，则下列关系式正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 9．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( ) A． B． C．（） D．（） 10．若双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（ ） A． B． C．6 D．8 11．已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 12．设，则 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某种产品的质量指标值服从正态分布，且．某用户购买了件这种产品，则这件产品中质量指标值位于区间之外的产品件数为_________． 14．不等式的解集为________ 15．在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___. 16．设函数 满足,且当时,又函数,则函数在上的零点个数为___________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析，按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元. 年龄 （单位：岁） 保费 （单位：元） （1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求精确到整数时的最小值； （2）经调查，年龄在之间的老人每人中有人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为元，如果参保，保险公司补贴治疗费元.某老人年龄岁，若购买该项保险(取中的).针对此疾病所支付的费用为元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？ 18．（12分）已知函数，曲线在点处的切线在y轴上的截距为. （1）求a； （2）讨论函数和的单调性； （3）设，求证：. 19．（12分）已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若函数的最大值为，且，求的最小值. 20．（12分）已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若满足，，，求. 21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）求直线与曲线的普通方程，并求出直线的倾斜角； （2）记直线与轴的交点为是曲线上的动点，求点的最大距离. 22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）若射线与和分别交于点，求． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 利用切割线定理求得，利用勾股定理求得圆心到弦的距离，从而求得，结合，求得直线的倾斜角为，进而求得的斜率. 【题目详解】 曲线为圆的上半部分，圆心为，半径为. 设与曲线相切于点， 则 所以 到弦的距离为，，所以，由于，所以直线的倾斜角为，斜率为. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 2、A 【答案解析】 分子分母同乘,即根据复数的除法法则求解即可. 【题目详解】 解:, 故选:A 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算,属于基础题. 3、A 【答案解析】 首先求得时，的取值范围.然后求得时，的单调性和零点，令，根据“时，的取值范围”得到，利用零点存在性定理，求得函数的零点所在区间. 【题目详解】 当时，. 当时，为增函数，且，则是唯一零点.由于“当时，.”，所以 令，得，因为，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 4、A 【答案解析】 画出函数的图像，函数对称轴方程为，由图可得与关于对称，即得解. 【题目详解】 函数的图像如图， 对称轴方程为， ， 又， 由图可得与关于对称， 故选：A 【答案点睛】 本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 5、C 【答案解析】 通过二项式展开式的通项分析得到，即得解. 【题目详解】 由已知得， 故当时，， 于是有， 则. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6、A 【答案解析】 考虑既属于又属于的集合，即得. 【题目详解】 . 故选： 【答案点睛】 本题考查集合的交运算，属于基础题. 7、D 【答案解析】 a，b可看成是与和交点的横坐标，画出图象，数形结合处理. 【题目详解】 令，， 作出图象如图， 由，的图象可知， ，，②正确； ，，有，①正确； ，，有，③正确； ，，有，④正确. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 8、D 【答案解析】 由指数函数的图像与性质易得最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系，进而得解. 【题目详解】 根据指数函数的图像与性质可知， 由对数函数的图像与性质可知，，所以最小； 而由对数换底公式化简可得 由基本不等式可知，代入上式可得 所以， 综上可知， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题. 9、B 【答案解析】 如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案. 【题目详解】 如图所示：连接，根据垂直平分线知， 故，故轨迹为双曲线， ，，，故，故轨迹方程为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键. 10、A 【答案解析】 依题意可得，再根据离心率求出，即可求出，从而得解； 【题目详解】 解：∵双曲线的离心率为， 所以，∴，∴，双曲线的焦距为. 故选：A 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 11、A 【答案解析】 求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率． 【题目详解】 不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于， 因为，所以圆心到的距离为：， 即，因为，所以解得． 故选A． 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程. 12、C 【答案解析】 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解： ， 则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 直接计算，可得结果. 【题目详解】 由题可知： 则质量指标值位于区间之外的产品件数： 故答案为： 【答案点睛】 本题考查正太分布中原则，审清题意，简单计算，属基础题. 14、 【答案解析】 通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可。 【题目详解】 由得，解得， 所以解集是。 【答案点睛】 本题主要考查无理不等式的解法。 15、1 【答案解析】 由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值. 【题目详解】 因为，所以由正弦定理可得，所以; 所以，当，即时，三角形面积最大. 故答案为(1). 1 (2). 【答案点睛】 本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型. 16、1 【答案解析】 判断函数为偶函数，周期为2，判断为偶函数，计算，，画出函数图像，根据图像到答案. 【题目详解】 知，函数为偶函数，，函数关于对称。 ，故函数为周期为2的周期函数，且。 为偶函数，，， 当时，，，函数先增后减。 当时，，，函数先增后减。 在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有1个公共点， 则函数在上的零点个数为1． 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了函数零点问题，确定函数的奇偶性，对称性，周期性，画出函数图像是解题的关键. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）30；（2），比较划算. 【答案解析】 （1）由频率和为1求出，根据的值求出保费的平均值，然后解一元一次不等式 即可求出结果，最后取近似值即可； （2）分别计算参保与不参保时的期望，，比较大小即可. 【题目详解】 解:（1）由， 解得. 保险公司每年收取的保费为: ∴要使公司不亏本，则，即 解得 ∴. （2）①若该老人购买了此项保险，则的取值为 ∴(元). ②若该老人没有购买此项保险，则的取值为. ∴(元). ∴年龄为的该老人购买此项保险比较划算. 【答案点睛】 本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数的另一种数学语言，为容易题. 18、（1） （2）为减函数，为增函数. （3）证明见解析 【答案解析】 （1）求出导函数，求出切线方程，令得切线的纵截距，可得（必须利用函数的单调性求解）； （2）求函数的导数，由导数的正负确定单调性； （3）不等式变形为，由递减，得()，即，即，依次放缩，． 不等式，