2023届华中师范大学第一附中高三第一次调研测试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知实数、满足不等式组，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．三棱锥中，侧棱底面，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．设，，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上的一点，且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M，且M为的中点，则双曲线E的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 6．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A． B． C． D． 7．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形，将平行四边形沿对角线折起，使平面平面，则直线与所成角余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 9．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 10．如果实数满足条件，那么的最大值为（ ） A． B． C． D． 11．已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 12．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A．16 B．17 C．18 D．19 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为________． 14．已知函数，则不等式的解集为____________. 15．已知的终边过点，若，则__________． 16．已知集合,,则__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状； (2)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长. 18．（12分）曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； （2）过原点且倾斜角为的射线与曲线分别交于两点（异于原点），求的取值范围. 19．（12分）已知函数，其导函数为， （1）若，求不等式的解集； （2）证明：对任意的，恒有. 20．（12分）设函数. （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）若函数有两个极值点，求证：. 21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设，，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为30°，求的值. 22．（10分）设等比数列的前项和为，若 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）在和之间插入个实数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案． 【题目详解】 画出不等式组所表示平面区域，如图所示， 由目标函数，化为直线，当直线过点A时， 此时直线在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值， 又由，解得， 所以目标函数的最大值为，故选A． 【答案点睛】 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 2、A 【答案解析】 是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得． 【题目详解】 由题意，，∴函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是， ∴的最小值是． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数的零点就是其图象对称中心的横坐标． 3、B 【答案解析】 由题，侧棱底面，，，，则根据余弦定理可得 ，的外接圆圆心 三棱锥的外接球的球心到面的距离 则外接球的半径 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径 公式是解答的关键． 4、D 【答案解析】 利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【题目详解】 ，， ，， ，，， ， 故选：D. 【答案点睛】 该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目. 5、C 【答案解析】 由双曲线定义得，，OM是的中位线，可得，在中，利用余弦定理即可建立关系，从而得到渐近线的斜率. 【题目详解】 根据题意，点P一定在左支上. 由及，得，， 再结合M为的中点，得， 又因为OM是的中位线，又，且， 从而直线与双曲线的左支只有一个交点. 在中.——① 由，得. ——② 由①②，解得，即，则渐近线方程为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题. 6、D 【答案解析】 设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案. 【题目详解】 设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 7、C 【答案解析】 利用建系，假设长度，表示向量与，利用向量的夹角公式，可得结果. 【题目详解】 由平面平面， 平面平面，平面 所以平面，又平面 所以，又 所以作轴//,建立空间直角坐标系 如图 设，所以 则 所以 所以 故选：C 【答案点睛】 本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题. 8、B 【答案解析】 由抛物线的定义转化，列出方程求出p，即可得到抛物线方程． 【题目详解】 由抛物线y2＝2px（p＞0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据抛物线的定义可得，，所以抛物线的标准方程为：y2＝2x． 故选B． 【答案点睛】 本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题． 9、C 【答案解析】 结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可. 【题目详解】 A：为非奇非偶函数，不符合题意； B：在上不单调，不符合题意； C：为偶函数，且在上单调递增，符合题意； D：为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 【答案点睛】 本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 10、B 【答案解析】 解：当直线过点时，最大，故选B 11、D 【答案解析】 先判断函数在时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个数的大小，然后根据函数在时的单调性，比较出三个数的大小. 【题目详解】 当时，，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D. 【答案点睛】 本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键. 12、B 【答案解析】 由题意可得，，时，，将换为，两式相除，，， 累加法求得即有，结合条件，即可得到所求值． 【题目详解】 解：， 即，， 时，， ， 两式相除可得， 则，， 由， ， ， ，， 可得 ， 且， 正整数时，要使得成立， 则， 则， 故选：． 【答案点睛】 本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由题意求出以线段AB为直径的圆E的方程，且点D恒在圆E外，即圆E上存在点，使得，则当与圆E相切时，此时，由此列出不等式，即可求解。 【题目详解】 由题意可得，直线的方程为，联立方程组，可得， 设，则，， 设，则，， 又， 所以圆是以为圆心，4为半径的圆，所以点恒在圆外． 圆上存在点，使得以为直径的圆过点，即圆上存在点，使得，设过点的两直线分别切圆于点， 要满足题意，则，所以， 整理得，解得， 故实数的取值范围为 【答案点睛】 本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中准确求得圆E的方程，把圆上存在点，使得以为直径的圆过点，转化为圆上存在点，使得是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。 14、 【答案解析】 ，，分类讨论即可. 【题目详解】 由已知，，， 若，则或 解得或，所以不等式的解集为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查分段函数的应用，涉及到解一元二次不等式，考查学生的计算能力，是一道中档题. 15、 【答案解析】 】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值． 【题目详解】 ∵的终边过点，若， ． 即答案为-2. 【答案点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题. 16、 【答案解析】 直接根据集合和集合求交集即可. 【题目详解】 解: , , 所以. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查集合的交集运算,是基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1) 曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线;(2)8. 【答案解析】 试题分析：（1）将曲线的极坐标方程为两边同时乘以，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；（2）由直线经过点，可得的值，再将直线的参数方程代入曲线的标准方程，由直线参数方程的几何意义可得直线被曲线截得的