2023届云南省大理新世纪中学高三第六次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是 A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点成中心对称 C．函数在单调递增 D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称 2．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若，则”的否命题； ②命题“若，则或”； ③命题“若，则直线与直线平行”的逆命题. A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则=( ) A． B． C． D． 6．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 8．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（ ） A． B． C． D． 9．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数，则( ) A．， B．， C．， D．， 10．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 11．若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60°，则体积为( ) A． B． C． D． 12．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在的展开式中，项的系数是__________（用数字作答）． 14．如图梯形为直角梯形，，图中阴影部分为曲线与直线围成的平面图形，向直角梯形内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_____________ 15．请列举用0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字且比210大的所有三位奇数：___________． 16．在中， ，，则_________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值. 18．（12分）已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点. 19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为． （Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值． 20．（12分）如图在四边形中，，，为中点，. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 21．（12分）在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，平面，，. （1）求证：平面； （2）已知二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 22．（10分）已知数列的各项均为正数，且满足. （1）求，及的通项公式； （2）求数列的前项和. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案． 【题目详解】 根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得， 所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以， 又，所以，所以， 令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B． 【答案点睛】 本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题． 2、C 【答案解析】 否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确. 【题目详解】 ①的逆命题为“若，则”， 令，可知该命题为假命题，故否命题也为假命题； ②的逆否命题为“若且，则”，该命题为真命题，故②为真命题； ③的逆命题为“若直线与直线平行，则”，该命题为真命题. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路： (1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断． (2)当一个命题改写成“若，则”的形式之后，判断这个命题真假的方法： ①若由“”经过逻辑推理，得出“”，则可判定“若，则”是真命题；②判定“若，则”是假命题，只需举一反例即可． 3、B 【答案解析】 利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值． 【题目详解】 数列是公比为的正项等比数列，、满足， 由等比数列的通项公式得，即， ，可得，且、都是正整数， 求的最小值即求在，且、都是正整数范围下求最小值和的最小值，讨论、取值. 当且时，的最小值为. 故选：B． 【答案点睛】 本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题． 4、B 【答案解析】 由题可知，，再结合双曲线第一定义，可得，对有， 即，解得，再对，由勾股定理可得，化简即可求解 【题目详解】 如图，因为，所以.因为所以. 在中，，即， 得，则.在中，由得. 故选：B 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题 5、C 【答案解析】 计算，，再计算交集得到答案. 【题目详解】 ，，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力. 6、C 【答案解析】 根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【题目详解】 点不在直线、上， 若直线、互相平行，则过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，即必要性成立， 若过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，则直线、互相平行成立，反证法证明如下： 若直线、互相不平行，则，异面或相交，则过点只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立 则“过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键． 7、A 【答案解析】 由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可. 【题目详解】 由已知，，渐近线方程为，因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为， 所以圆心M到渐近线的距离为，故， 所以离心率为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题. 8、D 【答案解析】 由题知，又，代入计算可得. 【题目详解】 由题知，又. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值. 9、C 【答案解析】 根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项. 【题目详解】 表示取出的为一个白球，所以.表示取出一个黑球，，所以. 表示取出两个球，其中一黑一白，，表示取出两个球为黑球，，表示取出两个球为白球，，所以.所以，. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题. 10、D 【答案解析】 求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案. 【题目详解】 由题意，直线的斜率为， 可得直线的方程为， 把直线的方程代入双曲线，可得， 设，则， 由的中点为，可得，解答， 又由，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 11、D 【答案解析】 设圆锥底面圆的半径为，由轴截面面积为可得半径，再利用圆锥体积公式计算即可. 【题目详解】 设圆锥底面圆的半径为，由已知，，解得， 所以圆锥的体积. 故选：D 【答案点睛】 本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题. 12、C 【答案解析】 对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解. 【题目详解】 ∵ ，. 当时，，在上单调递增，不合题意. 当时，，在上单调递减，也不合题意. 当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得. 综上，的取值范围是. 故选C. 【答案点睛】 本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 的展开式的通项为：. 令，得. 答案为：-40. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数. 14、 【答案解析】 联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出，最后根据几何概型的概率公式计算可得； 【题目详解】 解：联立解得或，即，，，， ， 故答案为： 【答案点睛】 本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题. 15、231,321,301,1 【答案解析】 分个位数字是1、3两种情况讨论，即得解 【题目详解】 0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字比210大的所有三位奇数有： （1）当个位数字是1时，数字可以是231,321,301； （2）当个位数字是3时数字可以是1． 故答案为：231,321,301，1 【答案点睛】 本题考查了分类计数法的应用，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 16、 【答案解析】 先由题意得：，再利用向量数量积的几何意