2023届吉安一中高三（最后冲刺）数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ） A． B． C． D． 3．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A． B． C． D． 4．已知幂函数的图象过点，且，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的一条渐近线为，圆与相切于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（ ） A．2或 B．2或 C．或 D．或 8．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ ） A． B． C．2 D． 9．在等腰直角三角形中，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（ ）. A． B． C． D． 10．已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 11．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．已知的展开式中的常数项为8，则实数（ ） A．2 B．-2 C．-3 D．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______． 14．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________ 15．已知向量=（1，2），=（-3，1），则=______． 16．记复数z＝a+bi（i为虚数单位）的共轭复数为，已知z＝2+i，则_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在中，角的对边分别为，且满足，线段的中点为. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）已知，求的大小. 18．（12分）己知等差数列的公差，，且，，成等比数列. （1）求使不等式成立的最大自然数n； （2）记数列的前n项和为，求证：. 19．（12分）已知. （1）若曲线在点处的切线也与曲线相切，求实数的值； （2）试讨论函数零点的个数. 20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于、两点，求的面积. 21．（12分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 22．（10分）已知. （1）解不等式； （2）若均为正数，且，求的最小值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否成立，即可选出正确答案. 【题目详解】 解：当时，，由开口向上，则恒成立； 当恒成立时，若，则 不恒成立，不符合题意， 若 时，要使得恒成立，则 ，即 . 所以“”是“恒成立”的充要条件. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若，则推出 是 的充分条件；若，则推出 是 的必要条件. 2、B 【答案解析】 根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积． 【题目详解】 解：分析题意可知，如下图所示， 该几何体为一个正方体中的三棱锥， 最大面的表面边长为的等边三角形， 故其面积为， 故选B． 【答案点睛】 本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题． 3、A 【答案解析】 首先求出样本空间样本点为个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【题目详解】 样本空间样本点为个， 具体分析如下： 记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”， 有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1． 剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是， 但合并计算时会有重复，重复数量为， 事件的样本点数为：个． 故不同的样本点数为8个，. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题 4、A 【答案解析】 根据题意求得参数，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断. 【题目详解】 依题意，得，故， 故，，， 则. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题. 5、D 【答案解析】 由圆与相切可知，圆心到的距离为2，即.又，由此求出的值，利用离心率公式，求出e. 【题目详解】 由题意得，， ，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题. 6、C 【答案解析】 化简得到，得到答案. 【题目详解】 ，故，对应点在第三象限. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力. 7、A 【答案解析】 根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率． 【题目详解】 设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得： ， 得双曲线的一条渐近线的方程为 ∴焦点在x、y轴上两种情况讨论： ①当焦点在x轴上时有： ②当焦点在y轴上时有： ∴求得双曲线的离心率 2或． 故选：A． 【答案点睛】 本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案． 8、C 【答案解析】 由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间 上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C. 点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值. 9、D 【答案解析】 如图，将四面体放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径. 【题目详解】 中，易知， 翻折后, ， ， 设外接圆的半径为， ， ， 如图：易得平面，将四面体放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为， ， 四面体的外接球的表面积为. 故选：D 【答案点睛】 本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径 容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解. 10、D 【答案解析】 作出图象，取AB中点E，连接EF2，设F1A＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，进而得到e的值 【题目详解】 解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB， 设F1A＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a， 所以x＝2a，则EF2＝2a， 由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2， 所以c2＝7a2， 则e 故选：D． 【答案点睛】 本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率. 11、B 【答案解析】 画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案. 【题目详解】 ，画出函数图像，如图所示： 根据图像知：，，故，且. 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键. 12、A 【答案解析】 先求的展开式，再分类分析中用哪一项与相乘，将所有结果为常数的相加，即为 展开式的常数项，从而求出的值. 【题目详解】 展开式的通项为， 当取2时，常数项为， 当取时，常数项为 由题知，则. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对所取的项要进行分类讨论，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用,得到的关系式,然后代入双曲线的渐近线方程即可求解. 【题目详解】 因为双曲线的离心率为, 所以,即, 因为双曲线的渐近线方程为, 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题. 14、 【答案解析】 先还原几何体，再根据柱体体积公式求解 【题目详解】 空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为的直角三角形，高为的棱柱，所以体积为 【答案点睛】 本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题 15、-6 【答案解析】 由可求，然后根据向量数量积的坐标表示可求 . 【题目详解】 ∵=（1，2），=（-3，1），∴=（-4，-1）， 则 =1×（-4）+2×（-1）=-6 故答案为-6 【答案点睛】 本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题． 16、3﹣4i 【答案解析】 计算得到z2＝（2+i）2＝3+4i，再计算得到答案. 【题目详解】 ∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝3+4i，则． 故答案为：3﹣4i． 【答案点睛】 本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【答案解析】 （Ⅰ）由正弦定理边化角，再结合转化即可求解； （Ⅱ）可设，由，再由余弦定理解得，对中，由余弦定理有，通过勾股定理逆定理可得，进而得解 【题目详解】 （Ⅰ）由正弦定理得.