2023届嘉兴市重点中学高三下学期第一次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（　　） A．sina＞sinb B．ca＞cb C．ac＜bc D． 2．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．已知全集，则集合的子集个数为（ ） A． B． C． D． 4．已知曲线，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线截圆所得弦长为（ ） A． B．2 C．4 D． 5．已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．设是虚数单位，，，则（ ） A． B． C．1 D．2 7．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（ ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的实轴长为，离心率为，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上运动，若为锐角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（ ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A． B． C． D． 11．（ ） A． B． C． D． 12．已知，，，是球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________. 14．在的展开式中，的系数为________． 15．若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值_____ 16．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中，则的值是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆的右顶点为，为上顶点，点为椭圆上一动点． （1）若，求直线与轴的交点坐标； （2）设为椭圆的右焦点，过点与轴垂直的直线为，的中点为，过点作直线的垂线，垂足为，求证：直线与直线的交点在椭圆上． 18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点在曲线上，点在曲线上，且为正三角形． （1）求点，的极坐标； （2）若点为曲线上的动点，为线段的中点，求的最大值． 19．（12分）已知，函数. （Ⅰ）若在区间上单调递增，求的值； （Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（参考数据：） 20．（12分）已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，且与短轴两端点的连线相互垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若圆上存在两点，，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形面积的取值范围. 21．（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形, 底面 ,是的中点. （1）.求证:平面平面; （2）.若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值. 22．（10分）在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）已知外接圆半径,求的周长. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据函数单调性逐项判断即可 【题目详解】 对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误； 对B,因为y＝cx为增函数，且a＞b，所以ca＞cb，正确 对C,因为y＝xc为增函数,故 ，错误； 对D, 因为在为减函数，故 ，错误 故选B． 【答案点睛】 本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题． 2、A 【答案解析】 试题分析：由题意得，， ∴，， ∵，∴，∴， ∴若：，，∴， 若：，，∴， 若：，，∴， 综上可知，同理可知，故选A. 考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想. 【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上. 3、C 【答案解析】 先求B.再求，求得则子集个数可求 【题目详解】 由题=, 则集合,故其子集个数为 故选C 【答案点睛】 此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题 4、C 【答案解析】 设，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将点坐标代入切线方程，抽象出直线方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【题目详解】 圆可化为. 设， 则的斜率分别为， 所以的方程为，即， ，即， 由于都过点，所以， 即都在直线上， 所以直线的方程为，恒过定点， 即直线过圆心， 则直线截圆所得弦长为4. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题. 5、A 【答案解析】 在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程. 【题目详解】 由已知，，在中，由余弦定理，得 ，又，，所以， ， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立三者间的关系，本题是一道中档题. 6、C 【答案解析】 由，可得，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值. 【题目详解】 解：， ，解得：. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把 当成进行运算. 7、C 【答案解析】 模拟执行程序框图，即可容易求得结果. 【题目详解】 运行该程序： 第一次，，； 第二次，，； 第三次，，， …； 第九十八次，，； 第九十九次，，， 此时要输出的值为99. 此时. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题. 8、A 【答案解析】 由已知先确定出双曲线方程为，再分别找到为直角三角形的两种情况，最后再结合即可解决. 【题目详解】 由已知可得，，所以，从而双曲线方程为 ，不妨设点在双曲线右支上运动，则，当时， 此时，所以， ，所以； 当轴时，，所以，又为锐角三 角形，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况，即为直角三角形，是一道中档题. 9、D 【答案解析】 如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，，结合、可求离心率. 【题目详解】 如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于. 因为，故四边形为平行四边形，故. 又双曲线为中心对称图形，故. 设，则，故，故. 因为为直角三角形，故，解得. 在中，有，所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题. 10、D 【答案解析】 根据等差数列公式直接计算得到答案. 【题目详解】 依题意，，故，故，故，故选：D． 【答案点睛】 本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力. 11、A 【答案解析】 分子分母同乘,即根据复数的除法法则求解即可. 【题目详解】 解:, 故选:A 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算,属于基础题. 12、A 【答案解析】 由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【题目详解】 如图， 取BC中点G，连接AG，DG，则，， 分别取与的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O， 则O为四面体的球心， 由，得正方形OEGF的边长为，则， 四面体的外接球的半径， 球O的表面积为． 故选A． 【答案点睛】 本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率. 【题目详解】 根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是. 当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种. 当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种. 当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种. 当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种. 当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种. 当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种. 所以该验证码的中间数字是7的概率为. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题. 14、 【答案解析】 根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可. 【题目详解】 的展开式中， 所求项为：， 的系数为. 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题. 15、5. 【答案解析】 由约束条件作出可行域，令z＝3x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【题目详解】 由题意作出可行域如图阴影部分所示. 设, 当直线经过点时,取最大值5. 故答案为：5 【答案点睛】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 16、 【答案解析】 先求出向量和夹角的余弦值，再由公式即得. 【题目详解】 如图，过点作的平行线交于点，那么向量