2023届四川省阆中东风中学高三第五次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A．0 B． C． D．1 2．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（ ） A． B． C． D． 3．已知是等差数列的前项和，，，则（ ） A．85 B． C．35 D． 4．已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 5．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A． B． C． D． 6．以下关于的命题，正确的是 A．函数在区间上单调递增 B．直线需是函数图象的一条对称轴 C．点是函数图象的一个对称中心 D．将函数图象向左平移需个单位，可得到的图象 7．已知函数，若，则等于（ ） A．-3 B．-1 C．3 D．0 8．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A． B． C．1 D． 9．函数（其中是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A． B． C． D． 10．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是(　　) A． B．2 C． D． 11．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．36种 12．已知函数的零点为m，若存在实数n使且，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设向量，，且，则_________. 14．抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________． 15．设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差________，通项公式________. 16．已知函数，若恒成立，则的取值范围是___________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了人，其中女性人，男性人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示： （1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由； （2）根据统计数据建立一个列联表； （3）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系. 附： 18．（12分）如图所示，已知平面，，为等边三角形，为边上的中点，且. (Ⅰ)求证：面； (Ⅱ)求证：平面平面； (Ⅲ)求该几何体的体积． 19．（12分）在三棱锥中，为棱的中点， (I)证明：； (II)求直线与平面所成角的正弦值. 20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣asinB＝1． （1）求A； （2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积． 21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若点在曲线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的坐标. 22．（10分）椭圆：的左、右焦点分别是，，离心率为，左、右顶点分别为，.过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过点的直线与椭圆相交于不同的两点、（不与点、重合），直线与直线相交于点，求证：、、三点共线. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据题意可得平面，，则即异面直线与所成的角，连接CG，在中，，易得，所以，所以，故选B． 2、B 【答案解析】 先根据复数的乘法计算出，然后再根据共轭复数的概念直接写出即可. 【题目详解】 由，所以其共轭复数. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易. 3、B 【答案解析】 将已知条件转化为的形式，求得，由此求得. 【题目详解】 设公差为，则，所以，，，. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和的计算，属于基础题. 4、B 【答案解析】 求出的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出的范围即可． 【题目详解】 解：令，则， 则， 故，如图示： 由， 得， 函数恒过，， 由，， 可得，，， 若方程有唯一解， 则或，即或； 当即图象相切时， 根据，， 解得舍去）， 则的范围是， 故选：． 【答案点睛】 本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题． 5、B 【答案解析】 计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案. 【题目详解】 如图所示：设球半径为，则，解得. 故求体积为：，圆锥的体积：，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 6、D 【答案解析】 利用辅助角公式化简函数得到，再逐项判断正误得到答案. 【题目详解】 A选项，函数先增后减，错误 B选项，不是函数对称轴，错误 C选项，，不是对称中心，错误 D选项，图象向左平移需个单位得到，正确 故答案选D 【答案点睛】 本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键. 7、D 【答案解析】 分析：因为题设中给出了的值，要求的值，故应考虑两者之间满足的关系. 详解：由题设有， 故有，所以， 从而，故选D. 点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系. 8、D 【答案解析】 根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解. 【题目详解】 因为复数z满足， 所以， 所以z的虚部为. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9、D 【答案解析】 由题意得，函数点定义域为且，所以定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选D. 10、A 【答案解析】 先根据已知求出原△ABC的高为AO＝，再求原△ABC的面积. 【题目详解】 由题图可知原△ABC的高为AO＝， ∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案为A 【答案点睛】 本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 11、B 【答案解析】 分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数. 【题目详解】 如果甲单独到县，则方法数有种. 如果甲与另一人一同到县，则方法数有种. 故总的方法数有种. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题. 12、D 【答案解析】 易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围. 【题目详解】 易知函数单调递增且有惟一的零点为，所以，∴，问题转化为：使方程在区间上有解，即 在区间上有解，而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为，∴. 故选D． 【答案点睛】 本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据向量的数量积的计算，以及向量的平方，简单计算，可得结果. 【题目详解】 由题可知： 且 由 所以 故答案为： 【答案点睛】 本题考查向量的坐标计算，主要考查计算，属基础题. 14、 【答案解析】 设抛物线上任意一点的坐标为，根据抛物线的定义求得，并求出对应的，即可得出结果. 【题目详解】 设抛物线上任意一点的坐标为， 抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得，此时. 因此，抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题. 15、2 【答案解析】 直接利用等差数列公式计算得到答案. 【题目详解】 ，，解得，，故. 故答案为：2；. 【答案点睛】 本题考查了等差数列的基本计算，意在考查学生的计算能力. 16、 【答案解析】 求导得到，讨论和两种情况，计算时，函数在上单调递减，故，不符合，排除，得到答案。 【题目详解】 因为，所以，因为，所以. 当，即时，，则在上单调递增，从而，故符合题意； 当，即时，因为在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得. 令，得，则在上单调递减，从而，故不符合题意.综上，的取值范围是. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系 【答案解析】 （1）利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系； （2）填写列联表即可； （3）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论． 【题目详解】 解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系. （2）列联表如下： 戴口罩 不戴口罩 合计 女性 男性 合计 （3）由（2）中数据可得：. 所以，在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系. 【答案点睛】 本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了登高条形图的应用问题，属于基础题． 18、（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）. 【答案解析】 （I）取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得平面.（II）利用，证得平面，从而得到平面，由此证得平面平面.（III）作交于点，易得面，利用棱锥的体积公式，计算出棱锥的体积. 【题目详解】 (Ⅰ)取的中点，连接，则，， 故四边形为平行四边形. 故. 又面，平面，所以面. (Ⅱ)为等边三角形，为中点，所以.又， 所以面. 又，故面，所以面平面. (Ⅲ)几何体是四棱锥，作交于点，即面， . 【答案点睛】 本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的