2023届吉林省长春外国语学校高三下学期第一次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（ ） A． B． C． D． 2．设全集为R，集合，，则 A． B． C． D． 3．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ） A． B． C． D． 4． “”是“，”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．关于函数，有下述三个结论： ①函数的一个周期为； ②函数在上单调递增； ③函数的值域为. 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①② B．② C．②③ D．③ 7．已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） A．8 B． C．4 D． 9．已知数列满足：)若正整数使得成立，则（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 10．双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数是上的偶函数，是的奇函数，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 12．已知数列中，，()，则等于（ ） A． B． C． D．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，已知扇形的半径为1，面积为，则_____. 14．在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为___________. 15．展开式的第5项的系数为_____. 16．设函数，若存在实数m，使得关于x的方程有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，求的值． 18．（12分）如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足∥，宽度为．圆为江中的一个半径为的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线，．现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切．设． （1）试将通道的长表示成的函数，并指出定义域； （2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？ 19．（12分）已知函数 （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求证： 20．（12分）已知函数. （1）求的单调区间； （2）讨论零点的个数. 21．（12分）如图所示，四棱柱中，底面为梯形，，，，，，. （1）求证：； （2）若平面平面，求二面角的余弦值. 22．（10分）如图，平面四边形中，，是上的一点，是的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式. 【题目详解】 由，得，可得（）. 相减得，则（），又 由，，得，所以，所以为常 数列，所以，故. 故选：C 【答案点睛】 本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识. 2、B 【答案解析】 分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：， 结合交集的定义可得：. 本题选择B选项. 点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3、D 【答案解析】 先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解. 【题目详解】 甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种， 其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种， 所以甲第一个到、丙第三个到的概率是. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4、B 【答案解析】 先求出满足的值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【题目详解】 由得，即， ，因此“”是“，”的必要不充分条件． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断． 5、C 【答案解析】 根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案. 【题目详解】 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象， 由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称， 即函数为偶函数，由，得， 函数在区间上单调递增，则，得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题. 6、C 【答案解析】 ①用周期函数的定义验证.②当时，，，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数的值域等价于函数的值域，而，当时，再求值域. 【题目详解】 因为，故①错误； 当时，，所以，所以在上单调递增，故②正确； 函数的值域等价于函数的值域，易知，故当时，，故③正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题. 7、B 【答案解析】 可判断函数在上单调递增，且，所以. 【题目详解】 在上单调递增，且， 所以. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力. 8、D 【答案解析】 根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积． 【题目详解】 根据三视图知，该几何体是侧棱底面的四棱锥，如图所示： 结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形， 高为PA=2， ∴四棱锥的体积为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题. 9、B 【答案解析】 计算，故，解得答案. 【题目详解】 当时，，即，且. 故， ，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用. 10、C 【答案解析】 根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程. 【题目详解】 双曲线, 双曲线的渐近线方程为， 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题. 11、B 【答案解析】 根据函数的奇偶性及题设中关于与关系，转换成关于的关系式，通过变形求解出的周期，进而算出. 【题目详解】 为上的奇函数， ， 而函数是上的偶函数，， ， 故为周期函数，且周期为 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题. 12、A 【答案解析】 分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决. 【题目详解】 解：∵，()， ， ， ， ， …， ∴数列是以3为周期的周期数列， ， ， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据题意，利用扇形面积公式求出圆心角，再根据等腰三角形性质求出，利用向量的数量积公式求出. 【题目详解】 设角， 则， ， 所以在等腰三角形中，， 则. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式，属于基础题. 14、 【答案解析】 点在的平分线可知与向量共线，利用线性运算求解即可. 【题目详解】 因为点在的平线上， 所以存在使， 而， 可解得， 所以， 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题. 15、70 【答案解析】 根据二项式定理的通项公式，可得结果. 【题目详解】 由题可知：第5项为 故第5项的的系数为 故答案为：70. 【答案点睛】 本题考查的是二项式定理，属基础题。 16、 【答案解析】 先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可. 【题目详解】 由题意，当时，，此时，此时函数在单调递减，在单调递增，方程最多2个不相等的实根，舍； 当时，函数图象如下所示： 从左到右方程，有4个不相等的实根，依次为，，，，即， 由图可知，故，且，， 从而， 令，显然， ，要使该式在时有最小值，则对称轴，解得. 综上所述，实数a的取值范围是. 【答案点睛】 本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1） （2） 【答案解析】 （1）当时，， 由可得，（ 所以，解得， 所以不等式的解集为． （2）由题可得， 因为函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形， 所以，解得， 当时，，函数的图象与轴没有交点，不符合题意； 当时，，函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，符合题意． 综上，可得． 18、（1），定义域是．（2）百万 【答案解析】 （1）以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系，设，利用直线与圆相切得到，再代入这一关系中，即可得答案； （2）利用导数求函数的最小值，即可得答案； 【题目详解】 以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系． 设，则，，． 因为， 所以直线的方程为， 即， 因为圆与相切，所以， 即，从而得， 在直线的方程中，令，得， 所以， 所以 当时，，设锐角满足，则， 所以关于的函数是，定义域是． （2）要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即最小． 令，得，设锐角，满足，得． 列表： 0 减 极小值 增 所以时，，所以建造此通道的最少费用至少为百万元． 【答案点睛】 本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 19、（1）；（2）见解析. 【答案解析】 （1）将问题转化为对任意恒成立，换元构造新函数即可得解； （2）结合（1）可得，令，求导后证明其导函数单调递增