2023届云南省楚雄州永仁一中高三第五次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．甲乙两人有三个不同的学习小组， ， 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A． B． C． D． 2．tan570°=（ ） A． B．- C． D． 3．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为4，、、分别为侧棱，，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（　　） A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 6．已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（ ） A．4 B． C． D． 7．已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( ) A． B．0 C． D． 8．已知集合，则的值域为（　　） A． B． C． D． 9．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm3 A． B． C． D． 10．若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（ ） A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7] 12．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于、两点，且,，则椭圆的离心率为__________． 14．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_________. 15．对任意正整数，函数，若，则的取值范围是_________；若不等式恒成立，则的最大值为_________． 16．关于函数有下列四个命题： ①函数在上是增函数； ②函数的图象关于中心对称； ③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线； ④函数的导函数不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）已知在处的切线与轴垂直，若方程有三个实数解、、（），求证：. 18．（12分）已知函数，函数（）. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. （3）证明：当时，. 19．（12分）如图，在中，，的角平分线与交于点，. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的面积. 20．（12分）已知数列的前项和和通项满足. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的前项和. 21．（12分）已知函数 （1）求函数在处的切线方程 （2）设函数，对于任意，恒成立，求的取值范围. 22．（10分）的内角的对边分别为，已知. （1）求的大小； （2）若，求面积的最大值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为. 2、A 【答案解析】 直接利用诱导公式化简求解即可． 【题目详解】 tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题. 3、D 【答案解析】 如图，平面截球所得截面的图形为圆面，计算，由勾股定理解得，此外接球的体积为，三棱锥体积为，得到答案. 【题目详解】 如图，平面截球所得截面的图形为圆面. 正三棱锥中，过作底面的垂线，垂足为，与平面交点记为，连接、. 依题意，所以，设球的半径为， 在中，，，， 由勾股定理：，解得，此外接球的体积为， 由于平面平面，所以平面， 球心到平面的距离为， 则， 所以三棱锥体积为， 所以此外接球的体积与三棱锥体积比值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 4、A 【答案解析】 先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可. 【题目详解】 当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为. 在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示： 利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 5、C 【答案解析】 分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 【题目详解】 若一名学生只选物理和历史中的一门，则有种组合； 若一名学生物理和历史都选，则有种组合； 因此共有种组合. 故选C 【答案点睛】 本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型. 6、D 【答案解析】 试题分析：先画出可行域如图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为3a；由条件得，所以，故选D. 考点：线性规划. 7、D 【答案解析】 运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【题目详解】 由题意，函数为辅助角， 由于函数的对称轴的方程为，且， 即，解得，所以， 又由，所以函数必须取得最大值和最小值， 所以可设，， 所以， 当时，的最小值，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 8、A 【答案解析】 先求出集合，化简=，令，得由二次函数的性质即可得值域. 【题目详解】 由，得 ，，令， ，，所以得 ， 在 上递增，在上递减， ，所以，即 的值域为 故选A 【答案点睛】 本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 9、D 【答案解析】 解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体， 结合图中数据，计算它的体积为： V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=（6+1.5π）cm1． 故答案为6+1.5π． 点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可． 10、A 【答案解析】 化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【题目详解】 由题意，复数z满足，可得， 所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 11、B 【答案解析】 作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解. 【题目详解】 画出不等式组所表示的可行域如图△AOB 当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意 t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在的交点（）处取得最大值，此时Z＝t+16 由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6 故选：B． 【答案点睛】 此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法. 12、B 【答案解析】 根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项. 【题目详解】 .设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 设,则,,由知, ,,作,垂足为C，则C为的中点,在和中分别求出,进而求出的关系式,即可求出椭圆的离心率. 【题目详解】 如图,设,则,, 由椭圆定义知,, 因为,所以,, 作,垂足为C，则C为的中点, 在中,因为, 所以， 在中,由余弦定理可得, ， 即,解得, 所以椭圆的离心率为. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 14、 【答案解析】 一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,长方体的体对角线的长为,所以容器体积的最小值为. 15、 【答案解析】 将代入求解即可；当为奇数时,,则转化为,设,由单调性求得的最小值；同理,当为偶数时,,则转化为,设,利用导函数求得的最小值,进而比较得到的最大值. 【题目详解】 由题,,解得. 当为奇数时,,由,得, 而函数为单调递增函数,所以,所以； 当为偶数时,,由,得, 设, ,单调递增, ,所以, 综上可知,若不等式恒成立,则的最大值为. 故答案为:(1)；(2) 【答案点睛】 本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想. 16、①②③ 【答案解析】 由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断． 【题目详解】 函数的定义域是