2023届四川省成都石室中学高三第二次调研数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 2．已知是第二象限的角，，则( ) A． B． C． D． 3．已知不等式组表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．函数在的图象大致为（ ） A． B． C． D． 5．设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．已知复数满足，(为虚数单位)，则( ) A． B． C． D．3 8．已知数列中，，()，则等于（ ） A． B． C． D．2 9．已知实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知，则为( ) A． B． C．或 D．或 11．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．已知，，则等于（ ）． A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为_______，点到直线的距离的最大值为_______. 14．已知实数满约束条件，则的最大值为___________. 15．已知数列的各项均为正数，记为数列的前项和，若，，则______. 16．已知定义在的函数满足，且当时，，则的解集为__________________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，其中e为自然对数的底数. （1）讨论函数的单调性； （2）用表示中较大者，记函数.若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 18．（12分）已知函数，直线是曲线在处的切线． （1）求证：无论实数取何值，直线恒过定点，并求出该定点的坐标； （2）若直线经过点，试判断函数的零点个数并证明． 19．（12分）已知数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的满足关系式. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的通项公式是，前n项和为，求证：对于任意的正数n，总有. 20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点. 21．（12分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所． （1）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率； （2）若已知甲同学特别喜欢高校，他必选校，另在四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所． （i）求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率； （ii）记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数，求随机变量的分布列及数学期望． 22．（10分）如图，三棱锥中，点，分别为，的中点，且平面平面． 求证：平面； 若，，求证：平面平面. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由题意知且，结合数轴即可求得的取值范围. 【题目详解】 由题意知，，则，故， 又，则，所以， 所以本题答案为B. 【答案点睛】 本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定中的元素是解题的关键，属于基础题. 2、D 【答案解析】 利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【题目详解】 因为, 由诱导公式可得,, 即, 因为, 所以, 由二倍角的正弦公式可得, , 所以. 故选:D 【答案点睛】 本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题. 3、C 【答案解析】 分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示： 则，所以平面区域的面积， 解得，此时， 由图可得当过点时，取得最大值9，故选C. 点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解. 4、B 【答案解析】 先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 【题目详解】 是奇函数，排除C，D；，排除A. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查函数图象的判断，属于常考题. 5、B 【答案解析】 可解出集合，然后进行补集、交集的运算即可． 【题目详解】 ，，则，因此，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 6、B 【答案解析】 ,选B 7、A 【答案解析】 ，故，故选A. 8、A 【答案解析】 分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决. 【题目详解】 解：∵，()， ， ， ， ， …， ∴数列是以3为周期的周期数列， ， ， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题. 9、A 【答案解析】 所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值. 【题目详解】 解：因为满足， 则 ， 当且仅当时取等号， 故选：． 【答案点睛】 本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 10、D 【答案解析】 由正弦定理可求得，再由角A的范围可求得角A. 【题目详解】 由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查正弦定理,注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题. 11、A 【答案解析】 先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可. 【题目详解】 当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为. 在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示： 利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 12、B 【答案解析】 由已知条件利用诱导公式得，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案. 【题目详解】 由题意得 ， 又，所以，结合解得， 所以 ， 故选B. 【答案点睛】 本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，所以在平面的投影为的重心，利用解直角三角形，即可求出点到平面的距离；，可得点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离， 最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论. 【题目详解】 边长为，则中线长为， 点到平面的距离为， 点是以为直径的球面上的点， 所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离， 最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径. 又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4， 以下求过和的两个平行平面间距离， 分别取中点，连， 则，同理， 分别过做， 直线确定平面，直线确定平面， 则，同理， 为所求，， ， 所以到直线最大距离为. 故答案为:；. 【答案点睛】 本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题. 14、8 【答案解析】 画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案. 【题目详解】 根据约束条件，画出可行域，图中阴影部分为可行域. 又目标函数表示直线在轴上的截距， 由图可知当经过点时截距最大，故的最大值为8. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 15、63 【答案解析】 对进行化简，可得，再根据等比数列前项和公式进行求解即可 【题目详解】 由 数列为首项为，公比的等比数列， 所以63 【答案点睛】 本题考查等比数列基本量的求法，当处理复杂因式时，常用基本方法为：因式分解，约分。但解题本质还是围绕等差和等比的基本性质 16、 【答案解析】 由已知得出函数是偶函数，再得出函数的单调性，得出所解不等式的等价的不等式，可得解集. 【题目详解】 因为定义在的函数满足，所以函数是偶函数， 又当时，，得时，，所以函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以不等式等价于，即或， 解得或，所以不等式的解集为：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查抽象函数的不等式的求解，关键得出函数的奇偶性，单调性，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）. 【答案解析】 （1）由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解； （2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解 【题目详解】 （1）, ①当时,, ∴函数在内单调递增； ②当时,令,解得或, 当或时,,则单调递增, 当时,,则单调递减, ∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为 （2）（Ⅰ）当时,所以在上无零点； （Ⅱ）当时,, ①若,即,则是的一个零点； ②若,即,则不是的零点 （Ⅲ）当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以 ①当时,在上单调递增。又，所以 （ⅰ）当时,在上无零点； （ⅱ）当时,,又,所以此时在上恰有一个零点； ②当时,令,得,由,得；由,得,所以在上单调递减,在上单调递增, 因为,,所以此时在上恰有一个零点, 综上, 【答案点睛】 本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想 18、（1）见解析，（2）函数存在唯一零点. 【答案解析】 （1）首先求出导函数，利用导数的几何意义求出处的切线斜率，利用点斜式即可求出切线方程，根据方程即可求出定点. （2）由（1）求出函数，令方程可转化为记，利用导数判断函数在上单调递增，根据，由零点存在性定理即可求出零点个数. 【题目详解】 所以直线方程为 即，恒过点 将代入直线方程，