2023届上海市桃浦中学高三下学期第一次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 2．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，aβ，bα，则“ab“是“αβ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数（），当时，的值域为，则的范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，定义集合，则等于（ ） A． B． C． D． 5．中，角的对边分别为，若，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知当，，时，，则以下判断正确的是 A． B． C． D．与的大小关系不确定 7．设，，分别是中，，所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 8．已知复数，，则（ ） A． B． C． D． 9．已知F是双曲线（k为常数）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（ ） A．2k B．4k C．4 D．2 10．已知集合，，若，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 11．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A．、 B．、 C．、 D．、 12．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是______. 14．数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，且.若任意，成立，则实数的取值范围为__________. 15．已知为正实数，且，则的最小值为____________. 16．3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券,两人都未抽得特等奖的概率是__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量. 18．（12分）已知不等式对于任意的恒成立. （1）求实数m的取值范围； （2）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足.求证. 19．（12分）已知某种细菌的适宜生长温度为12℃~27℃，为了研究该种细菌的繁殖数量（单位：个）随温度（单位：℃）变化的规律，收集数据如下： 温度/℃ 14 16 18 20 22 24 26 繁殖数量/个 25 30 38 50 66 120 218 对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示： 20 78 4.1 112 3.8 1590 20.5 其中，. （1）请绘出关于的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量关于温度的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立关于的回归方程（结果精确到0.1）； （3）当温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？ 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二成估计分别为，，参考数据：. 20．（12分）已知椭圆，上顶点为，离心率为，直线交轴于点，交椭圆于，两点，直线，分别交轴于点，． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求证：为定值． 21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程； （2）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值. 22．（10分）已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且． 证明：直线与圆相切； 求面积的最小值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 计算得到，，代入双曲线化简得到答案. 【题目详解】 双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，， 故，，故，代入双曲线化简得到：，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 2、D 【答案解析】 根据面面平行的判定及性质求解即可． 【题目详解】 解：a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α， 由a∥b，不一定有α∥β，α与β可能相交； 反之，由α∥β，可得a∥b或a与b异面， ∴a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α， 则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题． 3、B 【答案解析】 首先由，可得的范围，结合函数的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数的不等式，解不等式即可求得范围. 【题目详解】 因为，所以，若值域为， 所以只需，∴. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 4、C 【答案解析】 根据定义，求出，即可求出结论. 【题目详解】 因为集合，所以， 则，所以. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题. 5、A 【答案解析】 先求出，由正弦定理求得，然后由面积公式计算． 【题目详解】 由题意， ． 由得， ． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解． 6、C 【答案解析】 由函数的增减性及导数的应用得：设，求得可得为增函数，又，，时，根据条件得，即可得结果． 【题目详解】 解：设， 则， 即为增函数， 又，，，， 即， 所以， 所以． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题． 7、C 【答案解析】 试题分析：由已知直线的斜率为，直线的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直 考点：直线与直线的位置关系 8、B 【答案解析】 分析：利用的恒等式，将分子、分母同时乘以 ，化简整理得 详解： ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意符号的正、负问题. 9、D 【答案解析】 分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【题目详解】 当时,等式不是双曲线的方程；当时,,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【答案点睛】 本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 10、B 【答案解析】 因为,所以,所以或. 若，则,满足. 若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B. 11、A 【答案解析】 设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增， 得到，进而变形即可求解. 【题目详解】 由题意，设，则， 又由，所以，即函数在R上单调递增， 则，即， 变形可得. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题. 12、A 【答案解析】 由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【题目详解】 由题,因为,所以, 设,则由,可得,解得, 可将三棱锥还原成如图所示的长方体, 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以, 所以外接球的体积. 故选:A 【答案点睛】 本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、； 【答案解析】 求出圆心坐标，代入直线方程得的关系，再由基本不等式求得题中最小值． 【题目详解】 圆：的标准方程为，圆心为， 由题意，即， ∴，当且仅当 ，即时等号成立， 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”． 14、 【答案解析】 当时，，可得到，再用累乘法求出，再求出，根据定义求出，再借助单调性求解． 【题目详解】 解：当时，，则，， 当时，， ， ， ， ， （当且仅当时等号成立）， ， 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查已知求，累乘法，主要考查计算能力，属于中档题． 15、 【答案解析】 ，所以有，再利用基本不等式求最值即可. 【题目详解】 由已知，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，采用的是“1”的替换，也可以消元等，是一道中档题. 16、 【答案解析】 利用排列组合公式进行计算,再利用古典概型公式求出不是特等奖的两张的概率即可. 【题目详解】 解:3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖, 甲、乙两人同时各抽取1张奖券, 则两人同时抽取两张共有： 种排法 排除特等奖外两人选两张共有：种排法. 故两人都未抽得特等奖的概率是： 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查古典概型的概率公式的应用,是基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、特征值为1，特征向量为． 【答案解析】 设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M，然后利用可求特征值的另一个特征向量. 【题目详解】 设矩阵M＝，则AM＝， 所以，解得，所以M＝， 则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1， 设特征值的特征向量为，则， 即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为． 【答案点睛】 本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养. 18、（1）（2）证明见解析 【答案解析】 （1）法一：，，得，则，由此可得答案； 法二：由题意，令，易知是偶函数，且时为增函数，由此可得出答案； （2）由（1）知，，即，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论． 【题目详解】 解：（1）法一：（当且仅当时取等号）， 又（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 由題意得，则，解得， 故的取值范围是； 法二：因为对于任意恒有成立，即， 令，易知是偶函数，且时为增函数， 所以，即，则，解得， 故的取值范围是； （2）由（1）知，，即， ∴ ，