2023届上海市敬业中学高三第四次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，，则集合( ) A． B． C． D． 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 3．已知数列满足,且,则的值是( ) A． B． C．4 D． 4．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）. A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元 5．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ） A．480种 B．360种 C．240种 D．120种 6．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ） A．45 B．50 C．55 D．60 7．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ） A．月收入的极差为60 B．7月份的利润最大 C．这12个月利润的中位数与众数均为30 D．这一年的总利润超过400万元 8．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( ) A． B． C． D． 9．命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ） 附：若，则，. A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.9544 12．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，复数且（为虚数单位），则__________，_________． 14．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为________. 15．平行四边形中，，为边上一点（不与重合），将平行四边形沿折起，使五点均在一个球面上，当四棱锥体积最大时，球的表面积为________. 16．各项均为正数的等比数列中，为其前项和，若，且，则公比的值为_____. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为，，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为，，且两人健身时间都不会超过3小时. （1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望； （2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额. 18．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，为数列的前项和，记，证明：． 19．（12分）已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）的角的对边分别为且，，求边上的高的最大值. 20．（12分）已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状； (2)若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长. 21．（12分）对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”. （1）证明：等比数列是“数列”； （2）若数列既是“数列”又是“数列”，证明：数列是等比数列. 22．（10分）已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点. （Ⅰ）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （Ⅱ）若直线过点，点满足（，分别为直线，的斜率），求的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据集合的混合运算，即可容易求得结果. 【题目详解】 ，故可得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查集合的混合运算，属基础题. 2、D 【答案解析】 结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可. 【题目详解】 由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题. 3、B 【答案解析】 由，可得，所以数列是公比为的等比数列， 所以，则， 则，故选B. 点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 4、D 【答案解析】 设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可． 【题目详解】 设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2． 故选D． 【答案点睛】 本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题． 5、B 【答案解析】 将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数. 【题目详解】 当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 6、D 【答案解析】 根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量求出班级人数. 【题目详解】 根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30， ∴样本容量（即该班的学生人数）是60（人）. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，属于基础题 7、D 【答案解析】 直接根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【题目详解】 由图可知月收入的极差为，故选项A正确； 1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确； 易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力. 8、A 【答案解析】 由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算． 【题目详解】 由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2， 底面为等腰直角三角形，斜边长为，如图： 的外接圆的圆心为斜边的中点，，且平面， ， 的中点为外接球的球心， 半径， 外接球表面积． 故选：A 【答案点睛】 本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键． 9、D 【答案解析】 根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【题目详解】 全称命题的否定是特称命题，所以命题“,”的否定是：，． 故选D． 【答案点睛】 本题考查全称命题的否定,难度容易. 10、A 【答案解析】 设，则MF的中点坐标为，代入双曲线的方程可得的关系，再转化成关于的齐次方程，求出的值，即可得答案. 【题目详解】 双曲线的右顶点为，右焦点为， M所在直线为，不妨设， ∴MF的中点坐标为.代入方程可得， ∴，∴，∴（负值舍去）. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造的齐次方程. 11、C 【答案解析】 根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【题目详解】 由题意，，，则，， 所以，. 故果实直径在内的概率为0.8185. 故选：C 【答案点睛】 本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题. 12、B 【答案解析】 由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得． 【题目详解】 解：由等差数列的性质可得，解得， ， 故选：B． 【答案点睛】 本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 ∵复数且 ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为， 14、 【答案解析】 分别取，的中点，，连接，由图形的对称性可知球心必在的延长线上，设球心为，半径为，，由勾股定理可得、，再根据球的面积公式计算可得； 【题目详解】 如图，分别取，的中点，，连接， 则易得，，，， 由图形的对称性可知球心必在的延长线上， 设球心为，半径为，，可得，解得，. 故该球的表面积为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题. 15、 【答案解析】 依题意可得、、、四点共圆，即可得到，从而得到三角形为正三角形，利用余弦定理可得，且，要使四棱锥体积最大，当且仅当面面时体积取得最大值，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再又可证面，则外接球的半径，即可求出球的表面积； 【题目详解】 解：依题意可得、、、四点共圆， 所以 因为， 所以，， 所以三角形为正三角形，则，， 利用余弦定理得 即，解得，则 所以， 当面面时，取得最大， 所以的外接圆的半径， 又面面，，且面面， 面 所以面， 所以外接球的半径 所以 故答案为： 【答案点睛】 本题考查多面体的外接球的相关计算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中