2023届上海市嘉定一中高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知满足，，,则在上的投影为（　　　　） A． B． C． D．2 2．若θ是第二象限角且sinθ =，则= A． B． C． D． 3．在条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是（ ） A． B． C． D．2 4．已知向量，是单位向量，若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A．﹣3∈A B．3B C．A∩B=B D．A∪B=B 6．已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 8．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 9．已知正方体的棱长为1，平面与此正方体相交.对于实数，如果正方体的八个顶点中恰好有个点到平面的距离等于，那么下列结论中，一定正确的是 A． B． C． D． 10．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A． B． C．1 D． 11．函数（），当时，的值域为，则的范围为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知为双曲线的左、右焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线的右支相交于点，若是上的一个靠近点的三等分点，且，则四边形的面积为_______． 14．某校高三年级共有名学生参加了数学测验（满分分），已知这名学生的数学成绩均不低于分，将这名学生的数学成绩分组如下：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是________（填序号）． ①； ②这名学生中数学成绩在分以下的人数为； ③这名学生数学成绩的中位数约为； ④这名学生数学成绩的平均数为． 15．定义在R上的函数满足：①对任意的，都有；②当时，，则函数的解析式可以是______________. 16．不等式的解集为________ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极小值； （3）求函数的零点个数． 18．（12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，其中. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 19．（12分）已知函数存在一个极大值点和一个极小值点. （1）求实数a的取值范围； （2）若函数的极大值点和极小值点分别为和，且，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数） 20．（12分）已知函数，． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在上的最小值和最大值． 21．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数. （1）若函数在区间上是单调函数，试求的取值范围； （2）若函数在区间上恰有3个零点，且，求的取值范围. 22．（10分）已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数） （1）求的值； （2）若，且对任意恒成立，求的最大值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据向量投影的定义，即可求解. 【题目详解】 在上的投影为. 故选:A 【答案点睛】 本题考查向量的投影，属于基础题. 2、B 【答案解析】 由θ是第二象限角且sinθ =知：，． 所以． 3、B 【答案解析】 画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 【题目详解】 如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知： 当时，有最大值为，即，故. . 当，即时等号成立. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 4、C 【答案解析】 设，根据题意求出的值，代入向量夹角公式，即可得答案； 【题目详解】 设，， 是单位向量，, ，， 联立方程解得：或 当时，； 当时，； 综上所述：. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的两种情况. 5、C 【答案解析】 试题分析：集合 考点：集合间的关系 6、D 【答案解析】 利用抛物线的定义，求得p的值，由利用两点间距离公式求得，根据二次函数的性质，求得，由取得最小值为，求得结果. 【题目详解】 由抛物线焦点在轴上，准线方程， 则点到焦点的距离为，则， 所以抛物线方程：， 设，圆，圆心为，半径为1， 则， 当时，取得最小值，最小值为， 故选D. 【答案点睛】 该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目. 7、B 【答案解析】 由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解 【题目详解】 双曲线的一条渐近线与直线垂直． ∴双曲线的渐近线方程为． ，得． 则离心率． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 8、A 【答案解析】 由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为 故答案为A. 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 9、B 【答案解析】 此题画出正方体模型即可快速判断m的取值. 【题目详解】 如图（1）恰好有3个点到平面的距离为；如图（2）恰好有4个点到平面的距离为；如图（3）恰好有6个点到平面的距离为. 所以本题答案为B. 【答案点睛】 本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题. 10、D 【答案解析】 根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解. 【题目详解】 因为复数z满足， 所以， 所以z的虚部为. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11、B 【答案解析】 首先由，可得的范围，结合函数的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数的不等式，解不等式即可求得范围. 【题目详解】 因为，所以，若值域为， 所以只需，∴. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 12、C 【答案解析】 根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较. 【题目详解】 因为，且的图象经过第一、二、四象限， 所以，， 所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为， 所以， 又，， 则|， 即， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、60 【答案解析】 根据题中给的信息与双曲线的定义可求得与,再在中,由余弦定理求解得,继而得到各边的长度,再根据计算求解即可. 【题目详解】 如图所示：设双曲线的半焦距为. 因为,,,所以由勾股定理,得. 所以. 因为是上一个靠近点的三等分点,是的中点,所以. 由双曲线的定义可知：,所以. 在中,由余弦定理可得 ,所以,整理可得. 所以,解得.所以. 则.则,得. 则的底边上的高为. 所以 . 故答案为：60 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线中利用定义与余弦定理求解线段长度与面积的方法,需要根据双曲线的定义表示各边的长度,再在合适的三角形里面利用余弦定理求得基本量的关系.属于难题. 14、②③ 【答案解析】 由频率分布直方图可知，解得，故①不正确；这名学生中数学成绩在分以下的人数为，故②正确；设这名学生数学成绩的中位数为，则，解得，故③正确；④这名学生数学成绩的平均数为 ，故④不正确．综上，说法正确的序号是②③． 15、（或，答案不唯一） 【答案解析】 由可得是奇函数，再由时，可得到满足条件的奇函数非常多，属于开放性试题. 【题目详解】 在中，令，得；令， 则，故是奇函数，由时，， 知或等，答案不唯一. 故答案为：（或，答案不唯一）. 【答案点睛】 本题考查抽象函数的性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大. 16、 【答案解析】 通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可。 【题目详解】 由得，解得， 所以解集是。 【答案点睛】 本题主要考查无理不等式的解法。 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）极小值；（3）函数的零点个数为． 【答案解析】 （1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性，进而可得出该函数的极小值； （3）由当时，以及，结合函数在区间上的单调性可得出函数的零点个数. 【题目详解】 （1）因为，所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线为； （2）因为，令，得或． 列表如下： 0 极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 所以，当时，函数有极小值； （3）当时，，且． 由（2）可知，函数在上单调递增，所以函数的零点个数为． 【答案点睛】 本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 18、（1）（2）. 【答案解析】 （1）根据，由向量，的坐标直接计算即得；（2）先求出，再根据向量平行的坐标关系解得. 【题目详解】 （1）由题，向量，， 则 . （2），. ， ， 整理得， 化简得，即， ，， ，即. 【答案点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型. 19、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）首先对函数求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围； （2）首先求出的值，再根据求出实数a的取值范围. 【题目详解