2023年高考4年模拟第六章第二节数列的应用.docx

第六章 数列 第二节 数列的应用 第一局部 六年高考题荟萃 2023年高考题 一、选择题 1.（2023江西理）中，，=4，函数 ，那么（ ） A． B. C. D. 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，那么只与函数的一次项有关；得：。 2.（2023江西理）4. （ ） A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。 3.（2023北京理）（2）在等比数列中，，公比.假设，那么m= （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 【答案】C 4.（2023四川理）（8）数列的首项，其前项的和为，且，那么 （A）0 （B） （C） 1 （D）2 解析：由,且 作差得an＋2＝2an＋1 又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 Þ a2＝2a1 故{an}是公比为2的等比数列 Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1 那么 【答案】B 5.（2023天津理）（6）是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，那么数列的前5项和为 （A）或5 （B）或5 （C） （D） 【答案】C 【解析】此题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和. 【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意根本量法的应用。 6.（2023全国卷1文）（4）各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，那么= (A) (B) 7 (C) 6 (D) 【答案】A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析】由等比数列的性质知，10,所以, 所以 7.（2023湖北文）7.等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，那么 A. B. C. D 8.（2023安徽理）10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，那么以下等式中恒成立的是 A、 B、 C、 D、 【答案】 D 【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，假设能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；假设不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.此题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论. （2023湖北理数）7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，那么= A． 2 B. 9.（2023福建理）3．设等差数列的前n项和为,假设,,那么当取最小值时,n等于 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为，那么，解得， 所以，所以当时，取最小值。 【命题意图】此题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。 二、填空题 1.（2023浙江理）（14）设 ， 将的最小值记为，那么 其中=__________________ . 解析：此题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题 2.（2023陕西文）11.观察以下等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝ （1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）. 解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方 所以第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）. 3.（2023辽宁理）（16）数列满足那么的最小值为__________. 【答案】 【命题立意】此题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n 所以 设，令，那么在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时有最小值。 又因为，，所以，的最小值为 4.（2023浙江文）（14）在如下数表中，每行、每列中的树都成等差数列， 那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 。 答案： 5.（2023天津文）（15）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项，那么= 。 【答案】4 【解析】此题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。 因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。 【温馨提示】此题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用别离变量的方法求解. 6.（2023湖南理）15．假设数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，那么得到一个新数列．例如，假设数列是，那么数列是．对任意的，，那么 ， ． 三、解答题 1.（2023湖南文）20.（本小题总分值13分） 给出下面的数表序列： 其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。 （I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）； （II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 求和： 2.（2023全国卷2理）（18）（本小题总分值12分） 数列的前项和． （Ⅰ）求； （Ⅱ）证明：． 【命题意图】本试题主要考查数列根本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】 【点评】2023年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和根底知识、根本方法根本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的根本公式、根本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续. 3.（2023北京理）（20）（本小题共13分） 集合对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 （Ⅰ）证明：，且; （Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：（P）≤. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 证明：（I）设，， 因为，，所以, 从而 又 由题意知，，. 当时，; 当时， 所以 (II)设，， ，，. 记，由（I）可知 所以中1的个数为，的1的 个数为。 设是使成立的的个数，那么 由此可知，三个数不可能都是奇数， 即,,三个数中至少有一个是偶数。 （III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和， 设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0 那么= 由于 所以 从而 4.（2023天津文）（22）（本小题总分值14分） 在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明成等比数列； （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）记，证明. 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等根底知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，总分值14分。 （I）证明：由题设可知，，，，， 。 从而，所以，，成等比数列。 （II）解：由题设可得 所以 . 由，得 ，从而. 所以数列的通项公式为或写为，。 （III）证明：由（II）可知，， 以下分两种情况进行讨论： （1） 当n为偶数时，设n=2m 假设，那么， 假设，那么 . 所以，从而 （2） 当n为奇数时，设。 所以，从而 综合（1）和（2）可知，对任意有 5.（2023天津理）（22）（本小题总分值14分） 在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为。 （Ⅰ）假设=，证明，，成等比数列（） （Ⅱ）假设对任意，，，成等比数列，其公比为。 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等根底知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。总分值14分。 （Ⅰ）证明：由题设，可得。 所以 = =2k(k+1) 由=0，得 于是。 所以成等比数列。 （Ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得 当≠1时，可知≠1，k 从而 所以是等差数列，公差为1。 （Ⅱ）证明：，，可得，从而=1.由（Ⅰ）有 所以 因此， 以下分两种情况进行讨论： （1） 当n为偶数时，设n=2m() 假设m=1,那么. 假设m≥2，那么 + 所以 (2)当n为奇数时，设n=2m+1（） 所以从而··· 综合（1）（2）可知，对任意,,有 证法二：（i）证明：由题设，可得 所以 由可知。可得， 所以是等差数列，公差为1。 （ii）证明：因为所以。 所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。 从而。 所以，由，可得 。 于是，由（i）可知 以下同证法一。 6.（2023湖南理）21．（本小题总分值13分） 数列中，是函数的极小值点 （Ⅰ）当a=0时，求通项； （Ⅱ）是否存在a，使数列是等比数列？假设存在，求a的取值范围；假设不存在，请说明理由。 7.（2023江苏卷）19、（本小题总分值16分） 设各项均为正数的数列的前n项和为，，数列是公差为的等差数列。 （1）求数列的通项公式（用表示）； （2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。 [解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及根本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。总分值16分。 （1）由题意知：， ， 化简，得： ， 当时，，适合情形。 故所求 （2）（方法一） ， 恒成立。 又，， 故，即的最大值为。 （方法二）由及，得，。 于是，对满足题设的，，有 。 所以的最大值。 另一方面，任取实数。设为偶数，令，那么符合条件，且。 于是，只要，即当时，。 所以满足条件的，从而。 因此的最大值为。