2023届云南腾冲市第八中学高三压轴卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．已知复数，为的共轭复数，则（ ） A． B． C． D． 3．已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为 A． B． C． D． 4．已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 5．已知集合，，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知，则（ ） A． B． C． D．2 9．已知向量，，则与共线的单位向量为( ) A． B． C．或 D．或 10．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥β C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于 11．已知函数（表示不超过x的最大整数），若有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．若的内角满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．的展开式中，的系数是__________. (用数字填写答案) 14．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____；最长棱的长度是_____． 15．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为____________. 16．能说明“若对于任意的都成立，则在上是减函数”为假命题的一个函数是________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是. （1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程； （2）已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于，两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值. 18．（12分）已知函数， （1）证明：在区间单调递减； （2）证明：对任意的有． 19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线与曲线交于两点. (1)求的长； (2)在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离. 20．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，，，，，为的中点，为棱上的一点. （1）证明：面面； （2）当为中点时，求二面角余弦值. 21．（12分）已知数列中，（实数为常数），是其前项和，且数列是等比数列，恰为与的等比中项． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，当时，的前项和为，求证：对任意，都有． 22．（10分）已知，，，，证明： （1）； （2）. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可. 【题目详解】 依题意，， 而， 即， 解得， 则. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 2、C 【答案解析】 求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【题目详解】 . 故选：C 【答案点睛】 本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题. 3、D 【答案解析】 由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面体的体积即可． 【题目详解】 解：如图， ∵点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，三线共线时，最小， ∴ 设正方体的棱长为，则， ∴． 取，连接，则共面， 在中，设到的距离为， 设到平面的距离为， . 故选D． 【答案点睛】 本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题． 4、C 【答案解析】 在等比数列中，由即可表示之间的关系. 【题目详解】 由题可知，等比数列中，且公比为2，故 故选：C 【答案点睛】 本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题. 5、D 【答案解析】 根据集合的基本运算即可求解. 【题目详解】 解：，，， 则 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 6、C 【答案解析】 先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合，解得的取值范围. 【题目详解】 由题化简得，， 作出的图象， 又由易知． 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 7、D 【答案解析】 推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果. 【题目详解】 ， 则， ， ，所以，函数的图象关于直线对称. 若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，，即，解得或. ①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示： 此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意； ②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点. 综上所述，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8、B 【答案解析】 结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值. 【题目详解】 由，以及，解得. . 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题. 9、D 【答案解析】 根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案. 【题目详解】 因为，，则， 所以， 设与共线的单位向量为， 则， 解得 或 所以与共线的单位向量为或. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义. 10、D 【答案解析】 试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D． 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 11、A 【答案解析】 根据[x]的定义先作出函数f（x）的图象，利用函数与方程的关系转化为f（x）与g（x）=ax有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可． 【题目详解】 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若有且仅有3个零点， 则等价为有且仅有3个根， 即与有三个不同的交点， 作出函数和的图象如图， 当a=1时，与有无数多个交点， 当直线经过点时，即，时，与有两个交点， 当直线经过点时，即时，与有三个交点， 要使与有三个不同的交点，则直线处在过和之间， 即， 故选：A． 【答案点睛】 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 12、A 【答案解析】 由，得到，得出，再结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【题目详解】 由题意，角满足，则， 又由角A是三角形的内角，所以，所以， 因为， 所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据组合的知识，结合组合数的公式，可得结果. 【题目详解】 由题可知：项来源可以是：（1）取1个，4个 （2）取2个，3个 的系数为： 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查组合的知识，熟悉二项式定理展开式中每一项的来源，实质上每个因式中各取一项的乘积，转化为组合的知识，属中档题. 14、 【答案解析】 由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度． 【题目详解】 由三视图还原原几何体如下图所示： 该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面， 则该几何体的体积为， ，， 因此，该棱锥的最长棱的长度为. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 15、（或写成） 【答案解析】 设与的夹角为，通过，可得，化简整理可求出，从而得到答案. 【题目详解】 设与的夹角为 可得， 故，将代入可得 得到， 于是与的夹角为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力. 16、答案不唯一，如 【答案解析】 根据对基本函数的理解可得到满足条件的函数. 【题目详解】 由题意，不妨设， 则在都成立， 但是在是单调递增的，在是单调递减的， 说明原命题是假命题. 所以本题答案为，答案不唯一，符合条件即可. 【答案点睛】 本题考查对基本初等函数的图像和性质的理解，关键是假设出一个在上不是单调递减的函数，再检验是否满足命题中的条件，属基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）. 【答案解析】 试题分析：（1）（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲线C1的参数方程化为普通方程，进而利用即可化为极坐标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程； （2）由过的圆心，得得，设，，代入中即可得解. 试题解析： （1）曲线的普通方程为，化成极坐标方程为 曲线的直角坐标方程为 （2）在直角坐标系下，，， 恰好过的圆心， ∴由得 ，是椭圆上的两点， 在极坐标下，设，分别代入中， 有和 ∴， 则，即 18、（1）答案见解析．（2）答案见解析 【答案解析】 （1）利用复合函数求导求出，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）首先证，令，求导可得单调递增，由即可证出；再令，再利用导数可得单调递增，由即可证出. 【题目详解】