2023届上海市杨浦高级中学高三第一次调研测试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列的通项公式为．则“”是“为递增数列”的（ ）条件． A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要 2．已知的值域为，当正数a，b满足时，则的最小值为（ ） A． B．5 C． D．9 3．数列满足，且，，则（ ） A． B．9 C． D．7 4．设，则 A． B． C． D． 5．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且，则( ) A．9 B．5 C．2或9 D．1或5 7．关于函数有下述四个结论：（ ） ①是偶函数； ②在区间上是单调递增函数； ③在上的最大值为2； ④在区间上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④ 8．已知是函数的极大值点，则的取值范围是 A． B． C． D． 9．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（　　） A． B．8 C． D．4 10．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ） A．2 B．3 C．7 D．8 11．若实数满足不等式组，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D．2 12．已知f(x)=是定义在R上的奇函数，则不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集为（ ） A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-4,3) D．(-3,4) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．各项均为正数的等比数列中，为其前项和，若，且，则公比的值为_____. 14．两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同．如图所示，一列圆 (an>0，rn>0，n=1，2…)逐个外切，且均与曲线y=x2相切，若r1=1，则a1=___，rn=______ 15．已知等比数列的前项和为，，且，则__________. 16．若一个正四面体的棱长为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为_________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点，点，直线的斜率为1． （1）求椭圆的方程； （1）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，是否存在直线使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 18．（12分）对于正整数，如果个整数满足， 且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为. (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”; (Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值. (注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.) 19．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据： 月 份 5 6 7 8 9 10 11 12 研发费用（百万元） 2 3 6 10 21 13 15 18 产品销量（万台） 1 1 2 2.5 6 3.5 3.5 4.5 （Ⅰ）根据数据可知与之间存在线性相关关系，求出与的线性回归方程（系数精确到0.01）； （Ⅱ）该公司制定了如下奖励制度：以（单位：万台）表示日销售，当时，不设奖；当时，每位员工每日奖励200元；当时，每位员工每日奖励300元；当时，每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售（万台）服从正态分布（其中是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一），请你估计每位员工该月（按30天计算）获得奖励金额总数大约多少元. 参考数据：，，，， 参考公式：相关系数，其回归直线中的，若随机变量服从正态分布，则，. 20．（12分）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上，直线与抛物线交于另一点. （1）设直线，的斜率分别为，，求证：常数； （2）①设的内切圆圆心为的半径为，试用表示点的横坐标； ②当的内切圆的面积为时，求直线的方程. 21．（12分）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线，曲线（为参数），求曲线交点的直角坐标. 22．（10分）设数列，的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意，都有，，，（e是自然对数的底数）. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据递增数列的特点可知，解得，由此得到若是递增数列，则，根据推出关系可确定结果. 【题目详解】 若“是递增数列”，则， 即，化简得：， 又，，， 则是递增数列，是递增数列， “”是“为递增数列”的必要不充分条件． 故选：. 【答案点睛】 本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题. 2、A 【答案解析】 利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值. 【题目详解】 解：∵的值域为, ∴, ∴, ∴ , 当且仅当时取等号, ∴的最小值为. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题. 3、A 【答案解析】 先由题意可得数列为等差数列，再根据，，可求出公差，即可求出． 【题目详解】 数列满足，则数列为等差数列， ，， ，， ， ， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 4、C 【答案解析】 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解： ， 则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 5、B 【答案解析】 根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果. 【题目详解】 输入，不成立，是偶数成立，则，； 不成立，是偶数不成立，则，； 不成立，是偶数成立，则，； 不成立，是偶数成立，则，； 不成立，是偶数成立，则，； 不成立，是偶数成立，则，； 成立，跳出循环，输出i的值为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 6、B 【答案解析】 根据渐近线方程求得，再利用双曲线定义即可求得. 【题目详解】 由于，所以， 又且， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题. 7、C 【答案解析】 根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号. 【题目详解】 的定义域为. 由于，所以为偶函数，故①正确. 由于，，所以在区间上不是单调递增函数，所以②错误. 当时，， 且存在，使. 所以当时，； 由于为偶函数，所以时， 所以的最大值为，所以③错误. 依题意，，当时， ， 所以令，解得，令，解得.所以在区间，有两个零点.由于为偶函数，所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以④正确. 综上所述，正确的结论序号为①④. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 8、B 【答案解析】 方法一：令，则，， 当，时，，单调递减， ∴时，，，且， ∴，即在上单调递增， 时，，，且， ∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意； 当时，存在使得，即， 又在上单调递减，∴时，，所以， 这与是函数的极大值点矛盾． 综上，．故选B． 方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B． 9、C 【答案解析】 将直线方程代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值． 【题目详解】 F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1． 由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1， ∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝． 故选C． 【答案点睛】 本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 10、C 【答案解析】 先确定集合中元素，可得非空子集个数． 【题目详解】 由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个． 11、C 【答案解析】 作出可行域，直线目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 【题目详解】 作出可行域，如图由射线，线段，射线围成的阴影部分（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最大值1． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形． 12、C 【答案解析】 由奇函数的性质可得，进而可知在R上为增函数，转化条件得，解一元二次不等式即可得解. 【题目详解】 因为是定义在R上的奇函数，所以， 即，解得，即， 易知在R上为增函数. 又，所以，解得. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 将已知由前n项和定义整理为，再由等比数列性质求得公比，最后由数列各项均为正数，舍根得解. 【题目详解】 因为 即 又等比数列各项均为正数，故 故答案为： 【答案点睛】 本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比，属于基础题. 14、 【答案解析】 第一空：将圆与联立，利用计算即可； 第二空：找到两外切的圆的圆心与半径的关系，再将与联立，得到，与结合可得为等差