2023届台州市重点中学高三第五次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．4 2．已知是边长为的正三角形，若，则 A． B． C． D． 3．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，，则向量在向量上的投影是（ ） A． B． C． D． 6．已知的展开式中的常数项为8，则实数（ ） A．2 B．-2 C．-3 D．3 7．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论： ①曲线有四条对称轴； ②曲线上的点到原点的最大距离为； ③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为； ④四叶草面积小于. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 8．已知函数（），若函数在上有唯一零点，则的值为（ ） A．1 B．或0 C．1或0 D．2或0 9．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．已知集合，则元素个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，中，点D在BC上，，将沿AD旋转得到三棱锥，分别记，与平面ADC所成角为，，则，的大小关系是（ ） A． B． C．，两种情况都存在 D．存在某一位置使得 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，则__________． 14．若函数为奇函数，则_______. 15．内角，，的对边分别为，，，若，则__________． 16．在四面体中， 分别是的中点．则下述结论： ①四面体的体积为； ②异面直线所成角的正弦值为； ③四面体外接球的表面积为； ④若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为． 其中正确的有_____．（填写所有正确结论的编号） 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程； （2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为，求的值. 18．（12分）已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程. 19．（12分）数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，为的前n项和，求证：. 20．（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下： 一周课外读书时间/ 合计 频数 4 6 10 12 14 24 46 34 频率 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.12 0.25 0.17 1 （1）根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数. （2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人. ①求每层应抽取的人数； ②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率. 21．（12分）已知. （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若的最小值为1，求的最小值. 22．（10分）设 （1）证明:当时，； （2）当时，求整数的最大值.（参考数据：，） 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率. 【题目详解】 解：设双曲线的半个焦距为，由题意 又，则，，，所以离心率， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题 2、A 【答案解析】 由可得，因为是边长为的正三角形，所以，故选A． 3、C 【答案解析】 化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由 得可判断④. 【题目详解】 由题意，，所以，故①正确； 为偶函数，故②错误；当 时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有 成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为 ，故④正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题. 4、B 【答案解析】 由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2. 又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增， 又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0， 根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)， 故选B. 5、A 【答案解析】 先利用向量坐标运算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解 【题目详解】 由于向量， 故 向量在向量上的投影是. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 6、A 【答案解析】 先求的展开式，再分类分析中用哪一项与相乘，将所有结果为常数的相加，即为 展开式的常数项，从而求出的值. 【题目详解】 展开式的通项为， 当取2时，常数项为， 当取时，常数项为 由题知，则. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对所取的项要进行分类讨论，属于基础题. 7、C 【答案解析】 ①利用之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于. 【题目详解】 ①：当变为时， 不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 综上可知：有四条对称轴，故正确； ②：因为，所以， 所以，所以，取等号时， 所以最大距离为，故错误； ③：设任意一点，所以围成的矩形面积为， 因为，所以，所以， 取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，故正确； ④：由②可知，所以四叶草包含在圆的内部， 因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，故正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中去分析证明. 8、C 【答案解析】 求出函数的导函数，当时，只需，即，令，利用导数求其单调区间，即可求出参数的值，当时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断； 【题目详解】 解：∵（）， ∴，∴当时，由得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是极小值，∴只需， 即.令，则，∴函数在上单 调递增.∵，∴； 当时，，函数在上单调递减，∵，，函数在上有且只有一个零点，∴的值是1或0. 故选：C 【答案点睛】 本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题. 9、B 【答案解析】 先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 【题目详解】 解不等式可得， 解绝对值不等式可得， 由于为的子集， 据此可知“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题. 10、A 【答案解析】 计算，得到答案. 【题目详解】 根据题意，故，表示的复数在第一象限. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力. 11、B 【答案解析】 作出两集合所表示的点的图象，可得选项. 【题目详解】 由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共元素，所以元素个数为2， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题. 12、A 【答案解析】 根据题意作出垂线段，表示出所要求得、角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 【题目详解】 由题可得过点作交于点，过作的垂线，垂足为，则易得，． 设，则有，，， 可得，． ， ，； ，； ， ，， ． 综上可得，． 故选：． 【答案点睛】 本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 解：由题意可知： . 14、-2 【答案解析】 由是定义在上的奇函数,可知对任意的,都成立,代入函数式可求得的值. 【题目详解】 由题意,的定义域为,, 是奇函数,则,即对任意的,都成立, 故,整理得,解得. 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题. 15、 【答案解析】 ∵，∴，即， ∴，∴． 16、①③④． 【答案解析】 补图成长方体，在长方体中利用割补法求四面体的体积，和外接球的表面积，以及异面直线的夹角，作出截面即可计算截面面积的最值. 【题目详解】 根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为， ，解得 补成长，宽，高分别为的长方体，在长方体中： ①四面体的体积为，故正确 ②异面直线所成角的正弦值等价于边长为的矩形的对角线夹角正弦值，可得正弦值为，故错； ③四面体外接球就是长方体的外接球，半径，其表面积为，故正确； ④由于，故截面为平行四边形，可得， 设异面直线与所成的角为，则，算得， ．故正确． 故答案为：①③④． 【答案点睛】 此题考查根据几何体