2023届上海市松江区高三一诊考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若等差数列的前项和为，且，，则的值为（ ）． A．21 B．63 C．13 D．84 3．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ） A．或 B．或 C．或 D． 5．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B．07 C．02 D．01 6．若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ） A． B． C． D．4 7．已知集合,则（ ） A． B． C． D． 8．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为（ ） A． B．6 C． D． 9．已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为（ ） A． B． C． D． 10．若复数满足，则（ ） A． B． C．2 D． 11．若函数满足，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 12．函数的部分图象大致是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13． (x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________. 14．在中，角，，所对的边分别边，且，设角的角平分线交于点，则的值最小时，___. 15．圆关于直线的对称圆的方程为_____. 16．函数在的零点个数为_________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知x，y，z均为正数． （1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz； （2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值． 18．（12分）已知抛物线的焦点为，直线交于两点（异于坐标原点O）. （1）若直线过点,，求的方程； （2）当时，判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由. 19．（12分）已知数列中，，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”. （1）若数列为“数列”，求数列的前项和； （2）若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对任意，成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由. 20．（12分）已知是公比为的无穷等比数列，其前项和为，满足，________．是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 21．（12分）已知函数有两个极值点，. （1）求实数的取值范围； （2）证明：. 22．（10分）在等比数列中，已知，.设数列的前n项和为，且，（，）. （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等差数列； （3）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【题目详解】 因为，故， 当时，，故在区间上单调递减； 当时，，故在区间上单调递增； 当时，令，解得， 故在区间单调递减，在区间上单调递增. 又，且当趋近于零时，趋近于正无穷； 对函数，当时，； 根据题意，对，且，使得成立， 只需， 即可得， 解得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题. 2、B 【答案解析】 由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求，，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 【题目详解】 解：因为，， 所以，解可得，，， 则． 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题． 3、C 【答案解析】 根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可. 【题目详解】 ∵a>0，b>0，a+b=1， ∴， 当且仅当时取“＝”号． 答案：C 【答案点睛】 本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题. 4、A 【答案解析】 过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线的定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线相切，再用判别式或导数计算即可. 【题目详解】 过作与准线垂直，垂足为，， 则当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切， 易知此时直线的斜率存在，设切线方程为， 则.则， 则直线的方程为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 5、D 【答案解析】 从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D. 考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 6、D 【答案解析】 模拟程序运行，观察变量值的变化，得出的变化以4为周期出现，由此可得结论． 【题目详解】 ；如此循环下去，当时，，此时不满足，循环结束，输出的值是4. 故选：D． 【答案点睛】 本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论． 7、B 【答案解析】 计算，再计算交集得到答案 【题目详解】 ,表示偶数， 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力. 8、D 【答案解析】 根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解. 【题目详解】 如图,该几何体为正方体去掉三棱锥, 所以该几何体的体积为：, 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题. 9、D 【答案解析】 根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率，不放回情况下第二次检测出类产品的概率，即可得解. 【题目详解】 类产品共两件，类产品共三件， 则第一次检测出类产品的概率为； 不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出类产品的概率为； 故第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为； 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题. 10、D 【答案解析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算. 【题目详解】 解：由题意知，， ， ∴， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法. 11、A 【答案解析】 由推导出，且，将所求代数式变形为，利用基本不等式求得的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值. 【题目详解】 函数满足，，即， ，，，即， ，则， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立. ， 由于函数在区间上为增函数， 所以，当时，取得最小值. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题. 12、C 【答案解析】 判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项. 【题目详解】 ，函数是奇函数，排除， 时，，时，，排除， 当时，， 时，，排除， 符合条件，故选C. 【答案点睛】 本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、40 【答案解析】 先求出的展开式的通项，再求出即得解. 【题目详解】 设的展开式的通项为， 令r=3,则， 令r=2,则， 所以展开式中含x3y3的项为. 所以x3y3的系数为40. 故答案为：40 【答案点睛】 本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14、 【答案解析】 根据题意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出. 【题目详解】 因为，则， 由余弦定理得： ， 当且仅当时取等号， 又因为，， 所以. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查余弦定理和正弦定理的应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力. 15、 【答案解析】 求出圆心关于直线的对称点，即可得解. 【题目详解】 的圆心为，关于对称点设为， 则有: ，解得， 所以对称后的圆心为，故所求圆的方程为. 故答案为： 【答案点睛】 此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标. 16、1 【答案解析】 本问题转化为曲线交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【题目详解】 问题函数在的零点个数，可以转化为曲线交点个数问题. 在同一直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示： 由图象可知：当时，两个函数只有一个交点. 故答案为：1 【答案点睛】 本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）证明见解析；（2）最小值为1 【答案解析】 （1）利用基本不等式可得 , 再根据0＜xy＜1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz. （2）由＝, 得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值. 【题目详解】 （1）证明：∵x，y，z均为正数， ∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝， 当且仅当x＝y＝z时取等号． 又∵0＜xy＜1，∴， ∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz； （2）∵＝，即． ∵， ， ， 当且仅当x＝y＝z＝1时取等号， ∴， ∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+y