2023届上海市杨思中学高三二诊模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为锐角，且，则等于（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（ ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A． B． C． D． 5．已知向量，，且与的夹角为，则x=（ ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 6．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A．、 B．、 C．、 D．、 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ） A． B．6 C． D． 9．若集合，，则（ ） A． B． C． D． 10．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ） A． B．4 C． D．2 11．设曲线在点处的切线方程为，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知实数，满足，则的最大值等于( ) A．2 B． C．4 D．8 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________． 14．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，， ，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________ 15．已知函数图象上一点处的切线方程为，则_______． 16．已知，，求____________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，其中. （1）当时，求在的切线方程； （2）求证：的极大值恒大于0. 18．（12分）已知函数. （1）若是函数的极值点，求的单调区间； （2）当时，证明： 19．（12分）如图，在棱长为的正方形中，，分别为，边上的中点，现以为折痕将点旋转至点的位置，使得为直二面角． （1）证明：； （2）求与面所成角的正弦值． 20．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角. 21．（12分）已知函数. （1）讨论的零点个数； （2）证明：当时，. 22．（10分）已知数列{an}的各项均为正，Sn为数列{an}的前n项和，an2+2an＝4Sn+1． （1）求{an}的通项公式； （2）设bn，求数列{bn}的前n项和． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 由可得，再利用计算即可. 【题目详解】 因为，，所以， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 2、B 【答案解析】 由可得；由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解. 【题目详解】 ,所以离心率, 又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有, 而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即, 所以,所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选:B 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用. 3、B 【答案解析】 满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证. 【题目详解】 满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）； ③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题. 4、C 【答案解析】 在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果. 【题目详解】 两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、， 又因为名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题. 5、B 【答案解析】 由题意，代入解方程即可得解. 【题目详解】 由题意， 所以，且，解得. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 6、B 【答案解析】 先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可. 【题目详解】 本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以， ，，故当输入，，则计算机输出的数 是57. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 7、A 【答案解析】 设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增， 得到，进而变形即可求解. 【题目详解】 由题意，设，则， 又由，所以，即函数在R上单调递增， 则，即， 变形可得. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题. 8、D 【答案解析】 用列举法，通过循环过程直接得出与的值，得到时退出循环,即可求得. 【题目详解】 执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为. 故选D． 【答案点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易. 9、B 【答案解析】 根据正弦函数的性质可得集合A，由集合性质表示形式即可求得，进而可知满足. 【题目详解】 依题意，； 而 ， 故， 则. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题. 10、D 【答案解析】 由得，又，两式相除即可解出． 【题目详解】 解：由得， 又， ∴，∴，或， 又正项等比数列得， ∴， 故选：D． 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题． 11、D 【答案解析】 利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解 【题目详解】 因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即. 故选：D 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题 12、D 【答案解析】 画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得的最大值. 【题目详解】 画出可行域如下图所示，其中，由于,，所以， 所以原点到可行域上的点的最大距离为. 所以的最大值为. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中， ． 故答案为1． 考点：正弦定理的应用． 14、0.35 【答案解析】 根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来． 【题目详解】 解：由题意知本题是一个对立事件的概率， 抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品， ， 抽到不是一等品的概率是， 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题． 15、1 【答案解析】 求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得． 【题目详解】 由题意， ∵函数图象在点处的切线方程为， ∴，解得， ∴． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础， 16、 【答案解析】 求出向量的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算可计算出结果. 【题目详解】 ，，， 因此，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）证明见解析 【答案解析】 （1）求导，代入，求出在处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程； （2）分类讨论得出极大值即可判断. 【题目详解】 （1）， 当时，，， 则在的切线方程为； （2）证明：令，解得或， ①当时，恒成立，此时函数在上单调递减， ∴函数无极值； ②当时，令，解得，令，解得或， ∴函数在上单调递增，在，上单调递减， ∴； ③当时，令，解得，令，解得或， ∴函数在上单调递增，在，上单调递减， ∴， 综上，函数的极大值恒大于0. 【答案点睛】 本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 18、（1）递减区间为（-1，0），递增区间为（2）见解析 【答案解析】 （1）根据函数解析式，先求得导函数，由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域，并根据导函数的符号即可判断单调区间. （2）当时，.代入函数解析式放缩为，代入证明的不等式可化为，构造函数，并求得，由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函数的最小值，由对数式变形化简可证明，即成立，原不等式得证. 【题目详解】 （1）函数 可求得，则 解得 所以，定义域为 ， 在单调递增，而， ∴当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时是函数的极小值点， 的递减区间为，递增区间为 （2）证明：当时， ， 因此要证当时，， 只需证明， 即 令， 则， 在是单调递增， 而， ∴存在唯一的，使得， 当，单调递减，当，单调递增， 因此当时，函数取得最小值， ， ， 故， 从而，即，结论成立. 【答案点睛】 本题考查了由函数极值求参数，并根据导数判断函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立，构造函数法的综合应用，属于难题. 19、（1）证明见详解；（2） 【答案解析】 （1）在折叠前的正方形ABCD中，作出对角线AC，BD，由正方形性质知，又//，则于点H，则由直二面角可知面 ，故.又，则面，